Номер 38.36, страница 151, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.36, страница 151.

38.36 Решите неравенство $f'(x) > 0$, если:

a) $f(x) = x^2 - \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}};$

б) $f(x) = -\frac{8}{x} - \frac{x^2}{2};$

В) $f(x) = \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} + \frac{3}{2}x^{\frac{4}{3}};$

Г) $f(x) = 0,4x^{\frac{5}{4}} - \frac{8}{3}x^{\frac{3}{4}}.$

а)

Дана функция $f(x) = x^2 - \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$.

Область определения функции (ОДЗ) определяется выражением $x^{\frac{3}{2}} = \sqrt{x^3}$, откуда следует, что $x \ge 0$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^2 - \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}})' = (x^2)' - (\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}})' = 2x - \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = 2x - x^{\frac{1}{2}} = 2x - \sqrt{x}$.

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:

$2x - \sqrt{x} > 0$

Для решения вынесем $\sqrt{x}$ за скобки. Заметим, что $x$ не может быть равен 0, так как $2(0) - \sqrt{0} = 0$, что не удовлетворяет строгому неравенству. Поэтому будем считать, что $x>0$.

$\sqrt{x}(2\sqrt{x} - 1) > 0$

Так как для $x>0$ множитель $\sqrt{x} > 0$, то мы можем разделить обе части неравенства на $\sqrt{x}$, не меняя знака:

$2\sqrt{x} - 1 > 0$

$2\sqrt{x} > 1$

$\sqrt{x} > \frac{1}{2}$

Возведем обе части неравенства в квадрат, так как обе части неотрицательны:

$x > (\frac{1}{2})^2$

$x > \frac{1}{4}$

Это решение удовлетворяет начальной области определения $x \ge 0$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{4}; +\infty)$.

б)

Дана функция $f(x) = -\frac{8}{x} - \frac{x^2}{2}$.

Область определения функции: $x \ne 0$.

Для нахождения производной запишем функцию в виде $f(x) = -8x^{-1} - \frac{1}{2}x^2$.

Найдем производную:

$f'(x) = (-8x^{-1} - \frac{1}{2}x^2)' = -8(-1)x^{-1-1} - \frac{1}{2}(2x^1) = 8x^{-2} - x = \frac{8}{x^2} - x$.

Решим неравенство $f'(x) > 0$:

$\frac{8}{x^2} - x > 0$

Приведем выражение к общему знаменателю:

$\frac{8 - x^3}{x^2} > 0$

Знаменатель $x^2$ всегда положителен для любого $x$ из области определения ($x \ne 0$). Следовательно, знак дроби совпадает со знаком числителя:

$8 - x^3 > 0$

$8 > x^3$

$x^3 < 8$

Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем:

$x < \sqrt[3]{8}$

$x < 2$

Учитывая область определения $x \ne 0$, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 2)$.

в)

Дана функция $f(x) = \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} + \frac{3}{2}x^{\frac{4}{3}}$.

Область определения функции: $x \in \mathbb{R}$, так как корень нечетной степени (в знаменателе показателя) определен для любых действительных чисел.

Найдем производную:

$f'(x) = (\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} + \frac{3}{2}x^{\frac{4}{3}})' = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}x^{\frac{5}{3}-1} + \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}x^{\frac{4}{3}-1} = x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}$.

Решим неравенство $f'(x) > 0$:

$x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}} > 0$

Вынесем общий множитель $x^{\frac{1}{3}}$ за скобки:

$x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}} + 2) > 0$

Сделаем замену переменной $t = x^{\frac{1}{3}}$. Неравенство примет вид:

$t(t+2) > 0$

Корни соответствующего уравнения $t(t+2)=0$ равны $t_1=0$ и $t_2=-2$. Так как это квадратичная функция с ветвями параболы вверх, решение неравенства: $t < -2$ или $t > 0$.

Выполним обратную замену:

1) $x^{\frac{1}{3}} < -2 \implies \sqrt[3]{x} < -2 \implies x < (-2)^3 \implies x < -8$.

2) $x^{\frac{1}{3}} > 0 \implies \sqrt[3]{x} > 0 \implies x > 0^3 \implies x > 0$.

Объединяя полученные решения, получаем итоговый интервал.

Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup (0; +\infty)$.

г)

Дана функция $f(x) = 0,4x^{\frac{5}{4}} - \frac{8}{3}x^{\frac{3}{4}}$.

Область определения функции (ОДЗ): выражения $x^{\frac{5}{4}} = \sqrt[4]{x^5}$ и $x^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{x^3}$ определены при $x \ge 0$.

Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$. Тогда $f(x) = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{4}} - \frac{8}{3}x^{\frac{3}{4}}$.

Найдем производную:

$f'(x) = (\frac{2}{5}x^{\frac{5}{4}} - \frac{8}{3}x^{\frac{3}{4}})' = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{4}x^{\frac{5}{4}-1} - \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{4}x^{\frac{3}{4}-1} = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{4}} - 2x^{-\frac{1}{4}}$.

Область определения производной $x>0$ из-за члена $x^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$.

Решим неравенство $f'(x) > 0$ при $x>0$:

$\frac{1}{2}x^{\frac{1}{4}} - 2x^{-\frac{1}{4}} > 0$

$\frac{1}{2}x^{\frac{1}{4}} > 2x^{-\frac{1}{4}}$

$\frac{\sqrt[4]{x}}{2} > \frac{2}{\sqrt[4]{x}}$

Умножим обе части на $2\sqrt[4]{x}$. Так как $x>0$, это выражение положительно, и знак неравенства не изменится:

$(\sqrt[4]{x}) \cdot (\sqrt[4]{x}) > 2 \cdot 2$

$x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{4}} > 4$

$x^{\frac{1}{2}} > 4$

$\sqrt{x} > 4$

Возведем обе части в квадрат:

$x > 16$

Это решение удовлетворяет ОДЗ производной ($x>0$).

Ответ: $x \in (16; +\infty)$.