Номер 38.34, страница 151, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.34, страница 151.

38.34 Решите графически неравенство:

а) $x^{\frac{1}{2}} < 6 - x;$

б) $x^{\frac{3}{2}} \ge x^{-2};$

в) $x^{-\frac{1}{4}} \le x^3;$

г) $x^{\frac{2}{3}} > x - 4.$

а) $x^{\frac{1}{2}} < 6 - x$

Для решения данного неравенства графическим методом необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = x^{\frac{1}{2}}$ и $y = 6 - x$, а затем определить, на каких интервалах график первой функции находится ниже графика второй.

1. Построим график функции $y_1 = x^{\frac{1}{2}}$, что эквивалентно $y_1 = \sqrt{x}$. Область определения этой функции — $x \ge 0$. График представляет собой верхнюю ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox, и расположен в первой координатной четверти.

2. Построим график функции $y_2 = 6 - x$. Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения найдем две точки, например, $(0, 6)$ и $(6, 0)$.

3. Найдем абсциссу точки пересечения графиков, решив уравнение $x^{\frac{1}{2}} = 6 - x$.
Учтем область определения $x \ge 0$ и условие неотрицательности правой части $6 - x \ge 0$, то есть $x \le 6$. Таким образом, корень должен лежать в отрезке $[0, 6]$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = (6 - x)^2$
$x = 36 - 12x + x^2$
$x^2 - 13x + 36 = 0$
По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения $x_1 = 4$ и $x_2 = 9$.
Корень $x_2 = 9$ не удовлетворяет условию $x \le 6$, поэтому он является посторонним. Корень $x_1 = 4$ принадлежит отрезку $[0, 6]$.
Следовательно, графики функций пересекаются в одной точке, абсцисса которой равна 4.

4. Неравенство $x^{\frac{1}{2}} < 6 - x$ выполняется для тех $x$ из области определения $[0, +\infty)$, где график $y = \sqrt{x}$ лежит ниже прямой $y = 6 - x$. Это происходит на интервале от начала области определения ($x=0$) до точки их пересечения ($x=4$). Поскольку неравенство строгое, точка пересечения не включается в решение.

Ответ: $x \in [0, 4)$.

б) $x^{\frac{3}{2}} \ge x^{-2}$

Рассмотрим функции $y_1 = x^{\frac{3}{2}}$ и $y_2 = x^{-2}$ и построим их графики.

1. Функция $y_1 = x^{\frac{3}{2}} = x\sqrt{x}$. Область определения $D(y_1) = [0, +\infty)$. График начинается в точке $(0, 0)$ и монотонно возрастает.

2. Функция $y_2 = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$. Область определения $D(y_2) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Так как в первой функции $x \ge 0$, общая область определения для неравенства — $x > 0$. В этой области график $y_2$ представляет собой убывающую кривую в первой четверти.

3. Найдем точку пересечения графиков для $x > 0$ из уравнения $x^{\frac{3}{2}} = x^{-2}$.
$x^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{x^2}$
$x^{\frac{3}{2}} \cdot x^2 = 1$
$x^{\frac{3}{2} + 2} = x^{\frac{7}{2}} = 1$
Единственным положительным решением является $x = 1$. Точка пересечения — $(1, 1)$.

4. Нам нужно найти значения $x$, при которых график $y_1$ находится не ниже (выше или совпадает) графика $y_2$. На промежутке $(0, 1)$ функция $y_1$ возрастает от 0 до 1, а $y_2$ убывает от $+\infty$ до 1, поэтому $y_1 < y_2$. На промежутке $(1, +\infty)$ функция $y_1$ продолжает возрастать, а $y_2$ убывает к 0, поэтому $y_1 > y_2$. В точке $x=1$ функции равны. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точка $x=1$ включается в решение.

Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

в) $x^{-\frac{1}{4}} \le x^3$

Построим графики функций $y_1 = x^{-\frac{1}{4}}$ и $y_2 = x^3$.

1. Функция $y_1 = x^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$. Область определения $D(y_1) = (0, +\infty)$. График расположен в первой четверти и является убывающей функцией.

2. Функция $y_2 = x^3$. График — кубическая парабола. Общая область определения для неравенства — $x > 0$.

3. Найдем точку пересечения графиков для $x > 0$, решив уравнение $x^{-\frac{1}{4}} = x^3$.
$\frac{1}{x^{1/4}} = x^3$
$1 = x^3 \cdot x^{1/4}$
$1 = x^{3 + \frac{1}{4}} = x^{\frac{13}{4}}$
Единственное положительное решение — $x=1$. Точка пересечения — $(1, 1)$.

4. Ищем значения $x$, при которых график $y_1$ лежит не выше (ниже или совпадает) графика $y_2$. На интервале $(0, 1)$ график $y_1 = \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$ находится выше графика $y_2 = x^3$. На интервале $(1, +\infty)$ график $y_1$ находится ниже графика $y_2$. В точке $x=1$ графики пересекаются. Так как неравенство нестрогое ($\le$), решение включает точку $x=1$.

Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

г) $x^{\frac{2}{3}} > x - 4$

Построим графики функций $y_1 = x^{\frac{2}{3}}$ и $y_2 = x - 4$.

1. Функция $y_1 = x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2}$. Область определения $D(y_1) = (-\infty, +\infty)$. Функция четная, ее график симметричен относительно оси Oy. Значения функции всегда неотрицательны, $y_1 \ge 0$. В точке $(0,0)$ график имеет точку возврата (касп).

2. Функция $y_2 = x - 4$. График — прямая, пересекающая оси в точках $(0, -4)$ и $(4, 0)$.

3. Найдем точку пересечения, решив уравнение $x^{\frac{2}{3}} = x - 4$.
Поскольку левая часть всегда неотрицательна, правая часть также должна быть неотрицательной, то есть $x - 4 \ge 0 \Rightarrow x \ge 4$.
Подбором находим корень $x=8$:
$y_1(8) = 8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$
$y_2(8) = 8 - 4 = 4$
Так как $4=4$, то $x=8$ — абсцисса точки пересечения. Можно показать, что других точек пересечения нет.

4. Нам нужно найти значения $x$, при которых график $y_1$ лежит строго выше графика $y_2$.
— При $x < 4$, значения $y_1 = x^{\frac{2}{3}}$ неотрицательны ($y_1 \ge 0$), а значения $y_2 = x-4$ отрицательны ($y_2 < 0$). Очевидно, что любое неотрицательное число больше любого отрицательного, поэтому неравенство $y_1 > y_2$ выполняется для всех $x < 4$.
— При $x \in [4, 8)$, график $y_1$ все еще находится выше графика $y_2$. Например, при $x=5$, $y_1=\sqrt[3]{25} \approx 2.92$, а $y_2 = 1$.
— В точке $x=8$ значения функций равны, но так как неравенство строгое, эта точка не входит в решение.
— При $x > 8$ прямая $y_2=x-4$ растет быстрее, чем кривая $y_1=x^{2/3}$, и ее график оказывается выше.
Объединяя интервалы, на которых выполняется неравенство, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty, 8)$.