Номер 38.31, страница 151, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.31, страница 151.

38.31 Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:

a) $y = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 2x;$

б) $y = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} - x.$

а) $y = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 2x$

1. Область определения функции.

Функция содержит выражение $\sqrt{x}$, которое определено при $x \ge 0$. Следовательно, область определения функции $D(y) = [0, +\infty)$.

2. Производная функции.

Для удобства дифференцирования представим функцию в виде $y = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2x$.

Найдем производную $y'$:

$y' = \left(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2x\right)' = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} - 2 = x^{\frac{1}{2}} - 2 = \sqrt{x} - 2$.

3. Критические точки.

Критические точки — это точки из области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Производная $y' = \sqrt{x} - 2$ определена на всей области определения функции $[0, +\infty)$.

Найдем точки, в которых производная равна нулю:

$y' = 0 \implies \sqrt{x} - 2 = 0$

$\sqrt{x} = 2$

$x = 4$

Точка $x=4$ принадлежит области определения функции, следовательно, это единственная критическая точка.

4. Промежутки монотонности.

Исследуем знак производной на промежутках, на которые область определения $[0, +\infty)$ делится критической точкой $x=4$.

• Промежуток $[0, 4)$: Возьмем пробную точку $x=1$. $y'(1) = \sqrt{1} - 2 = -1 < 0$. Так как производная отрицательна, функция убывает на промежутке $[0, 4]$.
• Промежуток $(4, +\infty)$: Возьмем пробную точку $x=9$. $y'(9) = \sqrt{9} - 2 = 1 > 0$. Так как производная положительна, функция возрастает на промежутке $[4, +\infty)$.

5. Экстремумы.

В точке $x=4$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, $x=4$ — точка локального минимума.

Найдем значение функции в этой точке:

$y_{min} = y(4) = \frac{2}{3} \cdot 4\sqrt{4} - 2 \cdot 4 = \frac{2}{3} \cdot 4 \cdot 2 - 8 = \frac{16}{3} - 8 = \frac{16 - 24}{3} = -\frac{8}{3}$.

Ответ: функция убывает на промежутке $[0, 4]$, возрастает на промежутке $[4, +\infty)$; $x_{min} = 4$, $y_{min} = -\frac{8}{3}$.

---

б) $y = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} - x$

1. Область определения функции.

Функция $y = \frac{3}{2}\sqrt[3]{x^2} - x$ определена для всех действительных чисел. Следовательно, область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Производная функции.

Найдем производную $y'$:

$y' = \left(\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} - x\right)' = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} - 1 = x^{-\frac{1}{3}} - 1 = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} - 1$.

3. Критические точки.

Критические точки — это точки из области определения, в которых производная равна нулю или не существует.

• Производная не существует, когда знаменатель $\sqrt[3]{x}$ равен нулю, то есть при $x=0$. Эта точка принадлежит области определения, значит $x=0$ — критическая точка.
• Найдем точки, в которых производная равна нулю:

$y' = 0 \implies \frac{1}{\sqrt[3]{x}} - 1 = 0$

$\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = 1$

$\sqrt[3]{x} = 1$

$x = 1$

Точка $x=1$ принадлежит области определения, следовательно, это вторая критическая точка.

4. Промежутки монотонности.

Исследуем знак производной $y' = \frac{1-\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}$ на промежутках, на которые область определения $(-\infty, +\infty)$ делится критическими точками $x=0$ и $x=1$.

• Промежуток $(-\infty, 0)$: Возьмем пробную точку $x=-8$. $y'(-8) = \frac{1}{\sqrt[3]{-8}} - 1 = -\frac{1}{2} - 1 = -1.5 < 0$. Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.
• Промежуток $(0, 1)$: Возьмем пробную точку $x=1/8$. $y'(1/8) = \frac{1}{\sqrt[3]{1/8}} - 1 = 2 - 1 = 1 > 0$. Функция возрастает на промежутке $[0, 1]$.
• Промежуток $(1, +\infty)$: Возьмем пробную точку $x=8$. $y'(8) = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -0.5 < 0$. Функция убывает на промежутке $[1, +\infty)$.

5. Экстремумы.

• В точке $x=0$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, $x=0$ — точка локального минимума. Найдем значение функции: $y_{min} = y(0) = \frac{3}{2}(0)^{\frac{2}{3}} - 0 = 0$.
• В точке $x=1$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, $x=1$ — точка локального максимума. Найдем значение функции: $y_{max} = y(1) = \frac{3}{2}(1)^{\frac{2}{3}} - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[1, +\infty)$, возрастает на промежутке $[0, 1]$; $x_{min} = 0$, $y_{min} = 0$; $x_{max} = 1$, $y_{max} = \frac{1}{2}$.