Номер 38.40, страница 152, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.40, страница 152.

38.40 Проведите касательную к графику заданной функции из данной точки $M$:

a) $y = \sqrt{x}$, $M(0; 1)$;

б) $y = x^{\frac{3}{2}} + 4$, $M(0; 0)$.

а)

Задача состоит в том, чтобы найти уравнение касательной к графику функции $y = \sqrt{x}$, которая проходит через точку $M(0; 1)$. Точка $M$ не лежит на графике функции, так как $1 \neq \sqrt{0}$.

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала найдем производную функции $f(x) = \sqrt{x}$: $f'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Пусть $A(x_0; \sqrt{x_0})$ – неизвестная точка касания. Уравнение касательной в этой точке: $y = \sqrt{x_0} + \frac{1}{2\sqrt{x_0}}(x - x_0)$.

Так как касательная должна проходить через точку $M(0; 1)$, ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной. Подставим $x = 0$ и $y = 1$ в это уравнение, чтобы найти $x_0$: $1 = \sqrt{x_0} + \frac{1}{2\sqrt{x_0}}(0 - x_0)$.

Упростим и решим полученное уравнение: $1 = \sqrt{x_0} - \frac{x_0}{2\sqrt{x_0}}$ $1 = \sqrt{x_0} - \frac{\sqrt{x_0}}{2}$ $1 = \frac{1}{2}\sqrt{x_0}$ $\sqrt{x_0} = 2$. Отсюда абсцисса точки касания $x_0 = 4$.

Теперь, когда мы знаем $x_0 = 4$, мы можем найти все компоненты для уравнения касательной:

• Абсцисса точки касания: $x_0 = 4$.
• Ордината точки касания: $f(x_0) = f(4) = \sqrt{4} = 2$.
• Угловой коэффициент касательной (значение производной в точке $x_0$): $f'(x_0) = f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}$.

Подставляем эти значения в общее уравнение касательной: $y = 2 + \frac{1}{4}(x - 4)$ $y = 2 + \frac{1}{4}x - 1$ $y = \frac{1}{4}x + 1$.

Ответ: $y = \frac{1}{4}x + 1$.

б)

Задача состоит в том, чтобы найти уравнение касательной к графику функции $y = x^{\frac{3}{2}} + 4$, которая проходит через точку $M(0; 0)$. Точка $M$ не лежит на графике функции, так как $0 \neq 0^{\frac{3}{2}} + 4$.

Общее уравнение касательной в точке с абсциссой $x_0$: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Найдем производную функции $f(x) = x^{\frac{3}{2}} + 4$: $f'(x) = (x^{\frac{3}{2}} + 4)' = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$.

Пусть $A(x_0; x_0^{\frac{3}{2}} + 4)$ – неизвестная точка касания. Уравнение касательной в этой точке: $y = (x_0^{\frac{3}{2}} + 4) + \frac{3}{2}\sqrt{x_0}(x - x_0)$.

Касательная проходит через точку $M(0; 0)$, поэтому подставим ее координаты ($x = 0$, $y = 0$) в уравнение, чтобы найти $x_0$: $0 = (x_0^{\frac{3}{2}} + 4) + \frac{3}{2}\sqrt{x_0}(0 - x_0)$.

Упростим и решим полученное уравнение. Учитывая, что $x_0 \cdot \sqrt{x_0} = x_0^1 \cdot x_0^{\frac{1}{2}} = x_0^{\frac{3}{2}}$: $0 = x_0^{\frac{3}{2}} + 4 - \frac{3}{2}x_0^{\frac{3}{2}}$ $0 = 4 - \frac{1}{2}x_0^{\frac{3}{2}}$ $\frac{1}{2}x_0^{\frac{3}{2}} = 4$ $x_0^{\frac{3}{2}} = 8$.

Чтобы найти $x_0$, возведем обе части уравнения в степень $\frac{2}{3}$: $x_0 = 8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$.

Теперь, когда мы знаем абсциссу точки касания $x_0 = 4$, найдем остальные параметры:

• Абсцисса точки касания: $x_0 = 4$.
• Ордината точки касания: $f(4) = 4^{\frac{3}{2}} + 4 = (\sqrt{4})^3 + 4 = 2^3 + 4 = 8 + 4 = 12$.
• Угловой коэффициент касательной: $f'(4) = \frac{3}{2}\sqrt{4} = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$.

Подставляем найденные значения в общее уравнение касательной: $y = 12 + 3(x - 4)$ $y = 12 + 3x - 12$ $y = 3x$.

Ответ: $y = 3x$.