Номер 37.36, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§37. Обобщение понятия о показателе степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 37.36, страница 146.

37.36 a) $\left(\left(\frac{1}{25}\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 7^{-1}-\left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{1}{3}} \cdot 2^{-3}\right): 49^{-\frac{1}{2}}$

б) $\frac{8^{-\frac{1}{3}} \cdot 25^{-\frac{1}{2}}-2^{-1}}{64^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}$

а)

Вычислим значение выражения по действиям. Сначала выполним действия в скобках, а затем деление.

1. Преобразуем первый член в скобках, используя свойства степени с отрицательным и дробным показателем: $ (a/b)^{-n} = (b/a)^n $ и $ a^{1/2} = \sqrt{a} $.

$ (\frac{1}{25})^{-\frac{1}{2}} \cdot 7^{-1} = 25^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{7} = \sqrt{25} \cdot \frac{1}{7} = 5 \cdot \frac{1}{7} = \frac{5}{7} $.

2. Преобразуем второй член в скобках, используя те же свойства, а также $ a^{1/3} = \sqrt[3]{a} $:

$ (\frac{1}{8})^{-\frac{1}{3}} \cdot 2^{-3} = 8^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{2^3} = \sqrt[3]{8} \cdot \frac{1}{8} = 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $.

3. Выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю:

$ \frac{5}{7} - \frac{1}{4} = \frac{5 \cdot 4}{28} - \frac{1 \cdot 7}{28} = \frac{20 - 7}{28} = \frac{13}{28} $.

4. Преобразуем делитель:

$ 49^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{49^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{49}} = \frac{1}{7} $.

5. Выполним деление. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную дробь:

$ \frac{13}{28} : \frac{1}{7} = \frac{13}{28} \cdot 7 = \frac{13 \cdot 7}{4 \cdot 7} = \frac{13}{4} $.

Ответ: $ \frac{13}{4} $.

б)

Сначала упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.

1. Упростим числитель. Используем свойства степеней $ a^{-n} = 1/a^n $, $ a^{1/3} = \sqrt[3]{a} $ и $ a^{1/2} = \sqrt{a} $:

$ 8^{-\frac{1}{3}} \cdot 25^{-\frac{1}{2}} - 2^{-1} = \frac{1}{8^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{25^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} \cdot \frac{1}{\sqrt{25}} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} - \frac{1}{2} = \frac{1}{10} - \frac{5}{10} = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5} $.

2. Упростим знаменатель. Представим 64 как степень 2 ($64 = 2^6$) и используем свойства степеней $ (a^m)^n = a^{mn} $ и $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $:

$ 64^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = (2^6)^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{6 \cdot \frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^2 = 4 $.

3. Разделим полученный числитель на знаменатель:

$ \frac{-\frac{2}{5}}{4} = -\frac{2}{5 \cdot 4} = -\frac{2}{20} = -\frac{1}{10} $.

Ответ: $ -\frac{1}{10} $.