Номер 37.33, страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§37. Обобщение понятия о показателе степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 37.33, страница 145.

37.33

a) $ \frac{a - b}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{a - b} $;

б) $ \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{y}}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}} $.

а) Упростим выражение $ \frac{a - b}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{a - b} $.
Для этого преобразуем каждую дробь по отдельности.
1. Рассмотрим первую дробь $ \frac{a - b}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} $. Применим в числителе формулу разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $, где $ x = a^{\frac{1}{2}} $ и $ y = b^{\frac{1}{2}} $.
$ a - b = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) $.
Тогда дробь принимает вид:
$ \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} = a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} $.
2. Рассмотрим вторую дробь $ \frac{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{a - b} $. Применим в числителе формулу разности кубов $ x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2) $, где $ x = a^{\frac{1}{2}} $ и $ y = b^{\frac{1}{2}} $.
$ a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}} = (a^{\frac{1}{2}})^3 - (b^{\frac{1}{2}})^3 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})( (a^{\frac{1}{2}})^2 + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + (b^{\frac{1}{2}})^2 ) = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b) $.
Знаменатель $ a - b $ мы уже раскладывали: $ (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) $.
Тогда вторая дробь принимает вид:
$ \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)}{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})} = \frac{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} $.
3. Теперь выполним вычитание:
$ (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) - \frac{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} $.
Приведем к общему знаменателю $ a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} $:
$ \frac{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} - \frac{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} = \frac{a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b - (a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} $.
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$ \frac{a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b - a - a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} - b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} = \frac{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} $.
Ответ: $ \frac{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} $.

б) Упростим выражение $ \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{y}}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}} $.
Заметим, что $ \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} $ и $ \sqrt{y} = y^{\frac{1}{2}} $. Перепишем выражение:
$ \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}} $.
Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — это произведение знаменателей: $ (x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}) $.
Используя формулу разности квадратов, получим: $ (x^{\frac{1}{2}})^2 - (y^{\frac{1}{2}})^2 = x - y $.
Домножим числитель первой дроби на $ (x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}) $, а числитель второй дроби на $ (x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) $:
$ \frac{x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}) + y^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})}{(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})} $.
Раскроем скобки в числителе:
$ \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}}}{x - y} = \frac{x - x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + y}{x - y} $.
Приведем подобные слагаемые в числителе ( $ - x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} $ и $ + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} $ взаимно уничтожаются):
$ \frac{x + y}{x - y} $.
Ответ: $ \frac{x + y}{x - y} $.