Номер 37.27, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§37. Обобщение понятия о показателе степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 37.27, страница 144.

37.27 Раскройте скобки:

а) $(x^{1/3} + 3)(x^{1/3} - 3);$

б) $(a^{1/2} + b^{1/2})(a - a^{1/2}b^{1/2} + b);$

в) $(d^{1/2} - 1)(d^{1/2} + 1);$

г) $(p^{1/3} - q^{1/3})(p^{2/3} + (pq)^{1/3} + q^{2/3}).$

а) Данное выражение представляет собой произведение суммы и разности двух выражений, что является формулой сокращенного умножения, известной как "разность квадратов": $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

В этом примере $a = x^{\frac{1}{3}}$ и $b = 3$.

Применим формулу:

$(x^{\frac{1}{3}} + 3)(x^{\frac{1}{3}} - 3) = (x^{\frac{1}{3}})^2 - 3^2 = x^{\frac{1}{3} \cdot 2} - 9 = x^{\frac{2}{3}} - 9$.

Ответ: $x^{\frac{2}{3}} - 9$.

б) Это выражение соответствует формуле "сумма кубов": $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3 + y^3$.

Чтобы это увидеть, определим $x = a^{\frac{1}{2}}$ и $y = b^{\frac{1}{2}}$.

Тогда $x^2 = (a^{\frac{1}{2}})^2 = a$, $y^2 = (b^{\frac{1}{2}})^2 = b$, а произведение $xy = a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}$.

Вторая скобка в исходном выражении $(a - a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)$ в точности совпадает с $(x^2 - xy + y^2)$.

Таким образом, всё выражение упрощается до суммы кубов $x$ и $y$:

$(a^{\frac{1}{2}})^3 + (b^{\frac{1}{2}})^3 = a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}$.

Ответ: $a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}$.

в) Это выражение, как и в пункте а), является разностью квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Здесь $a = d^{\frac{1}{2}}$ и $b = 1$.

Применяя формулу, получаем:

$(d^{\frac{1}{2}} - 1)(d^{\frac{1}{2}} + 1) = (d^{\frac{1}{2}})^2 - 1^2 = d^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1 = d - 1$.

Ответ: $d - 1$.

г) Данное выражение является формулой "разность кубов": $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3 - y^3$.

Определим $x = p^{\frac{1}{3}}$ и $y = q^{\frac{1}{3}}$.

Тогда $x^2 = (p^{\frac{1}{3}})^2 = p^{\frac{2}{3}}$, $y^2 = (q^{\frac{1}{3}})^2 = q^{\frac{2}{3}}$, а произведение $xy = p^{\frac{1}{3}}q^{\frac{1}{3}} = (pq)^{\frac{1}{3}}$.

Вторая скобка $(p^{\frac{2}{3}} + (pq)^{\frac{1}{3}} + q^{\frac{2}{3}})$ полностью соответствует $(x^2 + xy + y^2)$.

Следовательно, произведение равно разности кубов $x$ и $y$:

$(p^{\frac{1}{3}})^3 - (q^{\frac{1}{3}})^3 = p^{\frac{1}{3} \cdot 3} - q^{\frac{1}{3} \cdot 3} = p - q$.

Ответ: $p - q$.