Номер 37.25, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§37. Обобщение понятия о показателе степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 37.25, страница 144.

Представьте выражение в виде суммы:

37.25 а) $(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}) \cdot x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$

б) $a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})$

в) $b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{4}}(b^{\frac{2}{3}} + c^{\frac{3}{4}})$

г) $x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{3}{2}})$

а) Чтобы представить выражение $(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}) \cdot x^2y^2$ в виде суммы, нужно раскрыть скобки, умножив каждый член в скобках на множитель $x^2y^2$. Это делается с помощью распределительного свойства умножения относительно вычитания.

Выполним умножение:

$(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}) \cdot x^2y^2 = \frac{1}{x^2} \cdot x^2y^2 - \frac{1}{y^2} \cdot x^2y^2$

Теперь упростим каждое слагаемое, сократив дроби:

Для первого слагаемого: $\frac{1}{x^2} \cdot x^2y^2 = \frac{x^2y^2}{x^2} = y^2$

Для второго слагаемого: $\frac{1}{y^2} \cdot x^2y^2 = \frac{x^2y^2}{y^2} = x^2$

Таким образом, исходное выражение преобразуется в разность, которая является формой суммы ($a - b = a + (-b)$):

$y^2 - x^2$

Ответ: $y^2 - x^2$

б) Чтобы представить выражение $a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})$ в виде суммы, раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения.

$a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) = a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}}$

Далее применим свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ для каждого слагаемого:

Первое слагаемое: $a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}} b^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{3}{3}} b^{\frac{2}{3}} = a^1 b^{\frac{2}{3}} = ab^{\frac{2}{3}}$

Второе слагаемое: $a^{\frac{2}{3}} \cdot b^{\frac{2}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}} = a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{3}{3}} = a^{\frac{2}{3}} b^1 = a^{\frac{2}{3}}b$

Складываем полученные выражения:

$ab^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b$

Ответ: $ab^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b$

в) Чтобы представить выражение $b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{4}}(b^{\frac{2}{3}} + c^{\frac{3}{4}})$ в виде суммы, раскроем скобки.

$b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{4}}(b^{\frac{2}{3}} + c^{\frac{3}{4}}) = b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{4}} \cdot b^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{4}} \cdot c^{\frac{3}{4}}$

Используем свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ для упрощения:

Первое слагаемое: $b^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{2}{3}} \cdot c^{\frac{1}{4}} = b^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}} c^{\frac{1}{4}} = b^{\frac{3}{3}} c^{\frac{1}{4}} = b^1 c^{\frac{1}{4}} = bc^{\frac{1}{4}}$

Второе слагаемое: $b^{\frac{1}{3}} \cdot c^{\frac{1}{4}} \cdot c^{\frac{3}{4}} = b^{\frac{1}{3}} c^{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}} = b^{\frac{1}{3}} c^{\frac{4}{4}} = b^{\frac{1}{3}} c^1 = b^{\frac{1}{3}}c$

Складываем полученные выражения:

$bc^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{3}}c$

Ответ: $bc^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{3}}c$

г) Чтобы представить выражение $x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{3}{2}})$ в виде суммы, раскроем скобки.

$x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{3}{2}}) = x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{3}{2}}$

Используем свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

Первое слагаемое: $x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{2}{2}} y^{\frac{1}{2}} = x^1 y^{\frac{1}{2}} = xy^{\frac{1}{2}}$

Второе слагаемое: $x^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{3}{2}} = x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}} = x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{4}{2}} = x^{\frac{1}{2}}y^2$

Записываем результат в виде разности:

$xy^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y^2$

Ответ: $xy^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y^2$