Номер 37.20, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§37. Обобщение понятия о показателе степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 37.20, страница 143.

Найдите значение выражения:

37.20 a) $10^{\frac{2}{5}} \cdot 10^{\frac{1}{2}} \cdot 10^{0,1}$;

б) $2^{1,3} \cdot 2^{-0,7} \cdot 4^{0,7}$;

в) $49^{-\frac{2}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{12}} \cdot 7^{-\frac{3}{4}}$;

г) $25^{0,3} \cdot 5^{1,4} \cdot 625^{0,25}$.

а) Чтобы найти значение выражения $10^{\frac{2}{5}} \cdot 10^{\frac{1}{2}} \cdot 10^{0,1}$, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Для этого необходимо сложить показатели степеней.
Представим все показатели в виде десятичных дробей: $\frac{2}{5} = 0,4$; $\frac{1}{2} = 0,5$.
Теперь сложим показатели: $\frac{2}{5} + \frac{1}{2} + 0,1 = 0,4 + 0,5 + 0,1 = 1$.
Таким образом, исходное выражение равно $10^1 = 10$.
Ответ: 10.

б) В выражении $2^{1,3} \cdot 2^{-0,7} \cdot 4^{0,7}$ приведем все степени к одному основанию. Основание 4 можно представить как степень числа 2: $4 = 2^2$.
Тогда $4^{0,7} = (2^2)^{0,7}$. По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $2^{2 \cdot 0,7} = 2^{1,4}$.
Теперь все выражение имеет одно основание: $2^{1,3} \cdot 2^{-0,7} \cdot 2^{1,4}$.
Складываем показатели степеней: $1,3 + (-0,7) + 1,4 = 0,6 + 1,4 = 2$.
В результате получаем $2^2 = 4$.
Ответ: 4.

в) В выражении $49^{-\frac{2}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{12}} \cdot 7^{-\frac{3}{4}}$ приведем все степени к основанию 7. Так как $49 = 7^2$, то $49^{-\frac{2}{3}} = (7^2)^{-\frac{2}{3}}$.
По свойству $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $7^{2 \cdot (-\frac{2}{3})} = 7^{-\frac{4}{3}}$.
Выражение принимает вид: $7^{-\frac{4}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{12}} \cdot 7^{-\frac{3}{4}}$.
Складываем показатели, приводя дроби к общему знаменателю 12:
$-\frac{4}{3} + \frac{1}{12} - \frac{3}{4} = -\frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12} - \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = -\frac{16}{12} + \frac{1}{12} - \frac{9}{12} = \frac{-16 + 1 - 9}{12} = \frac{-24}{12} = -2$.
Исходное выражение равно $7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$.
Ответ: $\frac{1}{49}$.

г) В выражении $25^{0,3} \cdot 5^{1,4} \cdot 625^{0,25}$ приведем все степени к основанию 5.
Известно, что $25 = 5^2$ и $625 = 5^4$.
Подставляем в выражение: $(5^2)^{0,3} \cdot 5^{1,4} \cdot (5^4)^{0,25}$.
Используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(5^2)^{0,3} = 5^{2 \cdot 0,3} = 5^{0,6}$
$(5^4)^{0,25} = 5^{4 \cdot 0,25} = 5^1 = 5$.
Выражение принимает вид: $5^{0,6} \cdot 5^{1,4} \cdot 5^1$.
Складываем показатели: $0,6 + 1,4 + 1 = 2 + 1 = 3$.
Исходное выражение равно $5^3 = 125$.
Ответ: 125.