Номер 37.37, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§37. Обобщение понятия о показателе степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 37.37, страница 146.

Найдите значение выражения:

37.37 a) $\frac{x^{\frac{5}{6}} + x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{5}{6}} - x^{\frac{1}{3}}}$ при $x = 1,44$;

б) $\frac{m^{\frac{2}{3}} - 2.25}{m^{\frac{1}{3}} + 1.5}$ при $m = 8$.

а)

Сначала упростим выражение $\frac{x^{\frac{5}{6}} + x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{5}{6}} - x^{\frac{1}{3}}}$.

Представим $x^{\frac{1}{3}}$ как $x^{\frac{2}{6}}$. Теперь можно вынести за скобки в числителе и знаменателе общий множитель $x^{\frac{2}{6}}$:

$\frac{x^{\frac{5}{6}} + x^{\frac{2}{6}}}{x^{\frac{5}{6}} - x^{\frac{2}{6}}} = \frac{x^{\frac{2}{6}}(x^{\frac{5}{6}-\frac{2}{6}} + 1)}{x^{\frac{2}{6}}(x^{\frac{5}{6}-\frac{2}{6}} - 1)} = \frac{x^{\frac{3}{6}} + 1}{x^{\frac{3}{6}} - 1}$

Поскольку $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$, выражение можно записать как:

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{2}} - 1}$

Теперь подставим в упрощенное выражение значение $x = 1,44$.

Найдем значение $x^{\frac{1}{2}}$:

$x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x} = \sqrt{1,44} = 1,2$

Подставим полученное значение в выражение:

$\frac{1,2 + 1}{1,2 - 1} = \frac{2,2}{0,2} = \frac{22}{2} = 11$

Ответ: 11

б)

Сначала упростим выражение $\frac{m^{\frac{2}{3}} - 2,25}{m^{\frac{1}{3}} + 1,5}$.

Заметим, что числитель является разностью квадратов, так как $m^{\frac{2}{3}} = (m^{\frac{1}{3}})^2$ и $2,25 = 1,5^2$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к числителю:

$m^{\frac{2}{3}} - 2,25 = (m^{\frac{1}{3}})^2 - (1,5)^2 = (m^{\frac{1}{3}} - 1,5)(m^{\frac{1}{3}} + 1,5)$

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{(m^{\frac{1}{3}} - 1,5)(m^{\frac{1}{3}} + 1,5)}{m^{\frac{1}{3}} + 1,5}$

Сократим дробь на $(m^{\frac{1}{3}} + 1,5)$:

$m^{\frac{1}{3}} - 1,5$

Теперь подставим значение $m = 8$ в упрощенное выражение.

Найдем значение $m^{\frac{1}{3}}$:

$m^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{m} = \sqrt[3]{8} = 2$

Подставим полученное значение в выражение:

$2 - 1,5 = 0,5$

Ответ: 0,5