Номер 40.52, страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.52, страница 166.

40.52 a) $3^x < 5^x$;

б) $6^x \ge 2^x$;

в) $(\frac{12}{13})^x \le 12^x$;

г) $0,6^x > 3^x$.

а) Исходное неравенство: $3^x < 5^x$.
Поскольку $5^x > 0$ для любого действительного $x$, мы можем разделить обе части неравенства на $5^x$, не меняя знака неравенства:
$\frac{3^x}{5^x} < \frac{5^x}{5^x}$
$(\frac{3}{5})^x < 1$
Представим 1 в виде степени с основанием $\frac{3}{5}$: $1 = (\frac{3}{5})^0$.
$(\frac{3}{5})^x < (\frac{3}{5})^0$
Так как основание степени $a = \frac{3}{5}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция $y = (\frac{3}{5})^x$ является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:
$x > 0$
Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

б) Исходное неравенство: $6^x \ge 2^x$.
Поскольку $2^x > 0$ для любого действительного $x$, разделим обе части неравенства на $2^x$. Знак неравенства при этом не изменится:
$\frac{6^x}{2^x} \ge \frac{2^x}{2^x}$
$(\frac{6}{2})^x \ge 1$
$3^x \ge 1$
Представим 1 в виде степени с основанием 3: $1 = 3^0$.
$3^x \ge 3^0$
Так как основание степени $a = 3$ больше 1, показательная функция $y = 3^x$ является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:
$x \ge 0$
Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

в) Исходное неравенство: $(\frac{12}{13})^x \le 12^x$.
Поскольку $12^x > 0$ для любого действительного $x$, разделим обе части неравенства на $12^x$, сохранив знак неравенства:
$\frac{(\frac{12}{13})^x}{12^x} \le \frac{12^x}{12^x}$
$\frac{12^x}{13^x \cdot 12^x} \le 1$
$\frac{1}{13^x} \le 1$
$13^{-x} \le 1$
Представим 1 в виде степени с основанием 13: $1 = 13^0$.
$13^{-x} \le 13^0$
Так как основание степени $a = 13$ больше 1, показательная функция $y = 13^x$ является возрастающей. Поэтому знак неравенства при переходе к показателям степеней сохраняется:
$-x \le 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x \ge 0$
Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

г) Исходное неравенство: $0,6^x > 3^x$.
Сначала представим десятичную дробь 0,6 в виде обыкновенной: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
Неравенство принимает вид: $(\frac{3}{5})^x > 3^x$.
Разделим обе части неравенства на $3^x$ (так как $3^x > 0$ для любого $x$, знак неравенства не меняется):
$\frac{(\frac{3}{5})^x}{3^x} > \frac{3^x}{3^x}$
$\frac{3^x}{5^x \cdot 3^x} > 1$
$\frac{1}{5^x} > 1$
$5^{-x} > 1$
Представим 1 как $5^0$:
$5^{-x} > 5^0$
Так как основание $a=5$ больше 1, показательная функция $y=5^x$ является возрастающей, и знак неравенства для показателей степеней сохраняется:
$-x > 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x < 0$
Ответ: $x \in (-\infty, 0)$.