Номер 41.11, страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§41. Понятие логарифма. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 41.11, страница 169.

41.11 a) $\log_9 x = \frac{1}{2}$;

б) $\log_{0.027} x = \frac{2}{3}$;

в) $\log_8 x = \frac{1}{3}$;

г) $\log_{0.25} x = \frac{3}{2}$.

а) Дано логарифмическое уравнение $ \log_9 x = \frac{1}{2} $.
По определению логарифма, выражение $ \log_b a = c $ эквивалентно $ a = b^c $.
Применим это определение к данному уравнению:
$ x = 9^{\frac{1}{2}} $
Возведение в степень $ \frac{1}{2} $ — это то же самое, что и извлечение квадратного корня.
$ x = \sqrt{9} $
$ x = 3 $
Ответ: 3

б) Дано логарифмическое уравнение $ \log_{0,027} x = \frac{2}{3} $.
По определению логарифма:
$ x = (0,027)^{\frac{2}{3}} $
Для удобства вычислений представим основание 0,027 в виде обыкновенной дроби: $ 0,027 = \frac{27}{1000} $.
$ x = \left(\frac{27}{1000}\right)^{\frac{2}{3}} $
Используем свойство степени $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $. Заметим, что $ 27 = 3^3 $ и $ 1000 = 10^3 $, поэтому $ \frac{27}{1000} = \left(\frac{3}{10}\right)^3 $.
$ x = \left(\left(\frac{3}{10}\right)^3\right)^{\frac{2}{3}} = \left(\frac{3}{10}\right)^{3 \cdot \frac{2}{3}} = \left(\frac{3}{10}\right)^2 $
$ x = \frac{3^2}{10^2} = \frac{9}{100} = 0,09 $
Ответ: 0,09

в) Дано логарифмическое уравнение $ \log_8 x = \frac{1}{3} $.
По определению логарифма:
$ x = 8^{\frac{1}{3}} $
Возведение в степень $ \frac{1}{3} $ эквивалентно извлечению кубического корня.
$ x = \sqrt[3]{8} $
$ x = 2 $
Ответ: 2

г) Дано логарифмическое уравнение $ \log_{0,25} x = \frac{3}{2} $.
По определению логарифма:
$ x = (0,25)^{\frac{3}{2}} $
Представим основание 0,25 в виде обыкновенной дроби: $ 0,25 = \frac{1}{4} $.
$ x = \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{3}{2}} $
Используем свойство степеней $ a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m $.
$ x = \left(\sqrt{\frac{1}{4}}\right)^3 $
Квадратный корень из $ \frac{1}{4} $ равен $ \frac{1}{2} $.
$ x = \left(\frac{1}{2}\right)^3 $
$ x = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8} $
Ответ: $ \frac{1}{8} $