Номер 41.14, страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§41. Понятие логарифма. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 41.14, страница 169.

41.14 а) $\log_x \frac{1}{27} = -3;$

б) $\log_x 4 = -\frac{1}{2};$

в) $\log_x \frac{1}{16} = -4;$

г) $\log_x 8 = -\frac{1}{3}.$

а) Для решения уравнения $log_x \frac{1}{27} = -3$ воспользуемся определением логарифма: $log_b a = c$ эквивалентно $b^c = a$. Применяя это правило, получаем $x^{-3} = \frac{1}{27}$. Используя свойство степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), перепишем уравнение как $\frac{1}{x^3} = \frac{1}{27}$. Поскольку $27 = 3^3$, мы можем записать $\frac{1}{x^3} = \frac{1}{3^3}$. Отсюда следует, что $x^3 = 3^3$, а значит $x=3$. Основание логарифма должно быть больше 0 и не равно 1, и $x=3$ удовлетворяет этим условиям. Ответ: $3$.

б) Для уравнения $log_x 4 = -\frac{1}{2}$ по определению логарифма имеем $x^{-1/2} = 4$. Преобразуем левую часть, используя свойства степеней ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $a^{1/2} = \sqrt{a}$): $\frac{1}{x^{1/2}} = 4$, что то же самое, что и $\frac{1}{\sqrt{x}} = 4$. Выражаем отсюда $\sqrt{x} = \frac{1}{4}$. Чтобы найти $x$, возводим обе части в квадрат: $(\sqrt{x})^2 = (\frac{1}{4})^2$, что дает $x = \frac{1}{16}$. Это значение удовлетворяет условиям для основания логарифма ($x > 0$ и $x \neq 1$). Ответ: $\frac{1}{16}$.

в) В уравнении $log_x \frac{1}{16} = -4$ применяем определение логарифма: $x^{-4} = \frac{1}{16}$. Это эквивалентно $\frac{1}{x^4} = \frac{1}{16}$, откуда $x^4 = 16$. Так как $16 = 2^4$, получаем уравнение $x^4 = 2^4$. У этого уравнения есть два действительных корня: $x=2$ и $x=-2$. Однако основание логарифма $x$ по определению должно быть положительным ($x>0$), поэтому корень $x=-2$ является посторонним. Единственным подходящим решением является $x=2$. Ответ: $2$.

г) Для уравнения $log_x 8 = -\frac{1}{3}$ используем определение логарифма, чтобы получить $x^{-1/3} = 8$. Используя свойства степеней ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $a^{1/3} = \sqrt[3]{a}$), переписываем уравнение: $\frac{1}{x^{1/3}} = 8$, или $\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = 8$. Отсюда находим, что $\sqrt[3]{x} = \frac{1}{8}$. Чтобы найти $x$, возводим обе части уравнения в куб: $(\sqrt[3]{x})^3 = (\frac{1}{8})^3$. Это дает $x = \frac{1}{8^3} = \frac{1}{512}$. Данное значение удовлетворяет требованиям к основанию логарифма ($x>0$ и $x \neq 1$). Ответ: $\frac{1}{512}$.