Номер 41.18, страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§41. Понятие логарифма. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 41.18, страница 170.

Решите неравенство:

41.18 а) $2^x \ge 9$;

б) $12^x \le 7$;

в) $(\frac{1}{3})^x < 4$;

г) $(0.2)^x > 5$.

а) Дано неравенство $2^x \ge 9$.
Для решения этого показательного неравенства прологарифмируем обе его части по основанию 2. Так как основание логарифма $2 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому знак неравенства при логарифмировании сохраняется.
$\log_2(2^x) \ge \log_2(9)$
Используя свойство логарифма $\log_a(a^b) = b$, получаем:
$x \ge \log_2(9)$.
Ответ: $x \in [\log_2(9), +\infty)$.

б) Дано неравенство $12^x \le 7$.
Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 12. Так как основание $12 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, и знак неравенства не меняется.
$\log_{12}(12^x) \le \log_{12}(7)$
По свойству логарифма $\log_a(a^b) = b$ получаем:
$x \le \log_{12}(7)$.
Ответ: $x \in (-\infty, \log_{12}(7)]$.

в) Дано неравенство $(\frac{1}{3})^x < 4$.
Представим основание степени $\frac{1}{3}$ как $3^{-1}$. Неравенство примет вид:
$(3^{-1})^x < 4$
$3^{-x} < 4$
Теперь прологарифмируем обе части по основанию 3. Так как основание $3 > 1$, знак неравенства сохраняется.
$\log_3(3^{-x}) < \log_3(4)$
$-x < \log_3(4)$
Умножим обе части на -1, при этом необходимо изменить знак неравенства на противоположный:
$x > -\log_3(4)$.
Ответ: $x \in (-\log_3(4), +\infty)$.

г) Дано неравенство $(0.2)^x > 5$.
Представим $0.2$ в виде дроби $\frac{1}{5}$, а затем в виде степени $5^{-1}$. Неравенство можно переписать так:
$(\frac{1}{5})^x > 5$
$(5^{-1})^x > 5^1$
$5^{-x} > 5^1$
Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, можно перейти к неравенству для показателей, сохранив знак исходного неравенства.
$-x > 1$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x < -1$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1)$.