Номер 41.13, страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§41. Понятие логарифма. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 41.13, страница 169.

41.13 a) $ \log_x 4 = 2; $

б) $ \log_x 27 = 3; $

в) $ \log_x 49 = 2; $

г) $ \log_x 125 = 3. $

а) По определению логарифма, равенство $\log_x 4 = 2$ эквивалентно степенному уравнению $x^2 = 4$. При этом основание логарифма $x$ должно удовлетворять условиям $x > 0$ и $x \ne 1$. Решая уравнение $x^2 = 4$, получаем два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $x > 0$. Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет обоим условиям ($2 > 0$ и $2 \ne 1$). Следовательно, решением является $x=2$.
Ответ: 2.

б) По определению логарифма, равенство $\log_x 27 = 3$ эквивалентно степенному уравнению $x^3 = 27$. Основание логарифма $x$ должно быть положительным ($x > 0$) и не равным единице ($x \ne 1$). Чтобы найти $x$, нужно извлечь кубический корень из 27. Так как $3^3 = 27$, то $x = 3$. Это значение удовлетворяет условиям для основания логарифма ($3 > 0$ и $3 \ne 1$).
Ответ: 3.

в) Согласно определению логарифма, уравнение $\log_x 49 = 2$ можно переписать в виде $x^2 = 49$. Условия для основания логарифма: $x > 0$ и $x \ne 1$. Уравнение $x^2 = 49$ имеет два решения: $x_1 = 7$ и $x_2 = -7$. Значение $x_2 = -7$ не подходит, так как основание логарифма не может быть отрицательным. Значение $x_1 = 7$ удовлетворяет всем условиям ($7 > 0$ и $7 \ne 1$).
Ответ: 7.

г) Используя определение логарифма, преобразуем уравнение $\log_x 125 = 3$ в степенное уравнение $x^3 = 125$. Основание логарифма $x$ должно быть больше нуля ($x > 0$) и не равно единице ($x \ne 1$). Найдем корень уравнения $x^3 = 125$. Поскольку $5^3 = 125$, то $x = 5$. Данное значение удовлетворяет условиям $x > 0$ и $x \ne 1$.
Ответ: 5.