Номер 41.16, страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§41. Понятие логарифма. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 41.16, страница 170.

41.16 a) $3^{x+1} = 14;$

б) $4^{5x-4} = 10;$

в) $(\frac{2}{7})^{3-x} = 11;$

г) $(\sqrt{5})^{8-9x} = 6.$

а) $3^{x+1} = 14$

Это показательное уравнение. Для его решения воспользуемся определением логарифма: если $a^y = b$, то $y = \log_a b$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

$\log_3(3^{x+1}) = \log_3(14)$

Используя свойство логарифма $\log_a(a^c) = c$, получаем:

$x + 1 = \log_3(14)$

Теперь выразим $x$, перенеся 1 в правую часть уравнения:

$x = \log_3(14) - 1$

Ответ: $x = \log_3(14) - 1$.

б) $4^{5x-4} = 10$

Это также показательное уравнение. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 4:

$\log_4(4^{5x-4}) = \log_4(10)$

Применяя свойство логарифма $\log_a(a^c) = c$, получаем:

$5x - 4 = \log_4(10)$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Сначала перенесем -4 в правую часть:

$5x = \log_4(10) + 4$

Разделим обе части на 5:

$x = \frac{\log_4(10) + 4}{5}$

Ответ: $x = \frac{\log_4(10) + 4}{5}$.

в) $(\frac{2}{7})^{3-x} = 11$

Прологарифмируем обе части этого показательного уравнения по основанию $\frac{2}{7}$:

$\log_{\frac{2}{7}}\left(\left(\frac{2}{7}\right)^{3-x}\right) = \log_{\frac{2}{7}}(11)$

Используя основное свойство логарифма $\log_a(a^c)=c$, получим:

$3 - x = \log_{\frac{2}{7}}(11)$

Выразим $x$. Сначала перенесем 3 в правую часть:

$-x = \log_{\frac{2}{7}}(11) - 3$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы найти $x$:

$x = -(\log_{\frac{2}{7}}(11) - 3)$

$x = 3 - \log_{\frac{2}{7}}(11)$

Ответ: $x = 3 - \log_{\frac{2}{7}}(11)$.

г) $(\sqrt{5})^{8-9x} = 6$

Сначала преобразуем основание степени. Корень из 5 можно записать как $5$ в степени $\frac{1}{2}$:

$\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$

Подставим это в исходное уравнение:

$(5^{\frac{1}{2}})^{8-9x} = 6$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим левую часть:

$5^{\frac{1}{2}(8-9x)} = 6$

$5^{\frac{8-9x}{2}} = 6$

Теперь это уравнение стандартного вида. Прологарифмируем обе части по основанию 5:

$\log_5\left(5^{\frac{8-9x}{2}}\right) = \log_5(6)$

По свойству логарифма получаем:

$\frac{8-9x}{2} = \log_5(6)$

Решим полученное линейное уравнение. Умножим обе части на 2:

$8 - 9x = 2\log_5(6)$

Перенесем 8 в правую часть:

$-9x = 2\log_5(6) - 8$

Разделим обе части на -9:

$x = \frac{2\log_5(6) - 8}{-9}$

Упростим выражение, поменяв знаки в числителе и знаменателе:

$x = \frac{8 - 2\log_5(6)}{9}$

Ответ: $x = \frac{8 - 2\log_5(6)}{9}$.