Номер 42.9, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. §42. Функция у = log a x, её свойства и график - номер 42.9, страница 172.

Условие.

42.9 a) Найдите, на каком промежутке функция $y = \log_3 x$ принимает наибольшее значение, равное 4, и наименьшее, равное -2.

б) Найдите, на каком промежутке функция $y = \log_{0.5} x$ принимает наибольшее значение, равное -1, и наименьшее, равное -3.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

а) Нам дана функция $y = \log_3 x$. Требуется найти промежуток по $x$, на котором функция принимает значения от -2 до 4 включительно.
Основание логарифма $a=3$, так как $a > 1$, функция является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$, и наоборот, меньшему значению $x$ соответствует меньшее значение $y$.
Следовательно, наименьшее значение функции $y_{min} = -2$ достигается при наименьшем значении $x$, а наибольшее значение функции $y_{max} = 4$ достигается при наибольшем значении $x$.
Найдем значение $x$, при котором $y = -2$:
$\log_3 x = -2$
По определению логарифма:
$x = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$
Это левая граница искомого промежутка.
Найдем значение $x$, при котором $y = 4$:
$\log_3 x = 4$
По определению логарифма:
$x = 3^4 = 81$
Это правая граница искомого промежутка.
Таким образом, функция принимает значения от -2 до 4 на промежутке $[\frac{1}{9}, 81]$.
Ответ: $[\frac{1}{9}; 81]$

б) Нам дана функция $y = \log_{0.5} x$. Требуется найти промежуток по $x$, на котором функция принимает значения от -3 до -1 включительно.
Основание логарифма $a=0.5$, так как $0 < a < 1$, функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$, и наоборот, меньшему значению $x$ соответствует большее значение $y$.
Следовательно, наибольшее значение функции $y_{max} = -1$ достигается при наименьшем значении $x$, а наименьшее значение функции $y_{min} = -3$ достигается при наибольшем значении $x$.
Найдем значение $x$, при котором $y = -1$ (это будет левая граница промежутка):
$\log_{0.5} x = -1$
По определению логарифма:
$x = (0.5)^{-1} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$
Найдем значение $x$, при котором $y = -3$ (это будет правая граница промежутка):
$\log_{0.5} x = -3$
По определению логарифма:
$x = (0.5)^{-3} = (\frac{1}{2})^{-3} = 2^3 = 8$
Таким образом, функция принимает значения от -3 до -1 на промежутке $[2, 8]$.
Ответ: $[2; 8]$