Номер 42.15, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§42. Функция у = log a x, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 42.15, страница 172.

Найдите область определения функции:

42.15 а) $y = \log_6(4x - 1);$

б) $y = \log_{\frac{1}{9}}(7 - 2x);$

в) $y = \log_9(8x + 9);$

г) $y = \log_{0,3}(2 - 3x).$

a) Область определения логарифмической функции $y = \log_a(f(x))$ задается условием, что аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $f(x) > 0$.
Для функции $y = \log_6(4x - 1)$ это условие принимает вид:
$4x - 1 > 0$
Переносим 1 в правую часть неравенства:
$4x > 1$
Делим обе части на 4:
$x > \frac{1}{4}$
Область определения функции — это интервал $(\frac{1}{4}; +\infty)$.
Ответ: $x \in (\frac{1}{4}; +\infty)$

б) Для функции $y = \log_{\frac{1}{9}}(7 - 2x)$ аргумент логарифма также должен быть строго больше нуля:
$7 - 2x > 0$
Переносим $2x$ в правую часть неравенства:
$7 > 2x$
Делим обе части на 2:
$\frac{7}{2} > x$, что равносильно $x < \frac{7}{2}$
Область определения функции — это интервал $(-\infty; \frac{7}{2})$.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{7}{2})$

в) Для функции $y = \log_9(8x + 9)$ аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$8x + 9 > 0$
Переносим 9 в правую часть неравенства:
$8x > -9$
Делим обе части на 8:
$x > -\frac{9}{8}$
Область определения функции — это интервал $(-\frac{9}{8}; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\frac{9}{8}; +\infty)$

г) Для функции $y = \log_{0.3}(2 - 3x)$ аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$2 - 3x > 0$
Переносим $3x$ в правую часть неравенства:
$2 > 3x$
Делим обе части на 3:
$\frac{2}{3} > x$, что равносильно $x < \frac{2}{3}$
Область определения функции — это интервал $(-\infty; \frac{2}{3})$.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{2}{3})$