Номер 42.17, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§42. Функция у = log a x, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 42.17, страница 173.

42.17 Найдите область значений функции:

а) $y = \log_{\sqrt{3}} x;$

б) $y = -22 \log_7 x;$

в) $y = -\log_{\frac{1}{10}} x;$

г) $y = 12 \log_{\frac{1}{3}} x.$

а) Областью значений для любой логарифмической функции вида $y = \log_a x$, где основание $a > 0$ и $a \neq 1$, является множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$. В данном случае, функция $y = \log_{\sqrt{3}} x$ имеет основание $a = \sqrt{3}$, которое удовлетворяет условиям ($ \sqrt{3} > 0$ и $\sqrt{3} \neq 1$). Следовательно, область ее значений — это все действительные числа.

Ответ: $y \in (-\infty; +\infty)$.

б) В основе этой функции лежит логарифмическая функция $z = \log_7 x$. Область значений для $z = \log_7 x$ — это множество всех действительных чисел, то есть $z \in (-\infty; +\infty)$. Функция $y = -22 \log_{7} x$ получается путем умножения каждого значения $z$ на постоянный ненулевой коэффициент $k = -22$. Так как $z$ может принимать любое значение из $\mathbb{R}$, то и произведение $-22z$ также может принимать любое значение из $\mathbb{R}$. Таким образом, область значений исходной функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $y \in (-\infty; +\infty)$.

в) Рассмотрим функцию $y = -\log_{\frac{1}{10}} x$. Данную функцию можно преобразовать, используя свойство логарифмов $-\log_a b = \log_{a^{-1}} b$. Применим это свойство:

$y = -\log_{\frac{1}{10}} x = \log_{(\frac{1}{10})^{-1}} x = \log_{10} x$.

Функция $y = \log_{10} x$ — это десятичный логарифм. Как и у любой стандартной логарифмической функции, ее область значений — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $y \in (-\infty; +\infty)$.

г) В основе функции $y = 12 \log_{\frac{1}{3}} x$ лежит логарифмическая функция $z = \log_{\frac{1}{3}} x$. Область значений для $z = \log_{\frac{1}{3}} x$ — это множество всех действительных чисел, $z \in (-\infty; +\infty)$. Функция $y$ получается путем умножения каждого значения $z$ на постоянный ненулевой коэффициент $k = 12$. Так как $z$ может принимать любое значение из $\mathbb{R}$, то и произведение $12z$ также может принимать любое значение из $\mathbb{R}$. Следовательно, область значений исходной функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $y \in (-\infty; +\infty)$.