Номер 42.22, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§42. Функция у = log a x, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 42.22, страница 173.

Решите графически уравнение:

42.22 а) $ \log_2 x = -x + 1; $
б) $ \log_{\frac{1}{3}} x = 2x - 2; $
в) $ \log_9 x = -x + 1; $
г) $ \log_{\frac{3}{7}} x = 4x - 4. $

a) Для решения уравнения $\log_2 x = -x + 1$ графическим методом, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = \log_2 x$ и $y = -x + 1$.

1. График функции $y = \log_2 x$ — это логарифмическая кривая. Область определения $x > 0$. Функция является возрастающей, так как основание логарифма $2 > 1$. График проходит через ключевые точки, такие как $(\frac{1}{2}, -1)$, $(1, 0)$ и $(2, 1)$. Вертикальная асимптота — ось $y$ (прямая $x=0$).

2. График функции $y = -x + 1$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки: если $x = 0$, то $y = 1$ (точка $(0, 1)$); если $x = 1$, то $y = 0$ (точка $(1, 0)$).

При построении обоих графиков в одной системе координат видно, что они пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки и является решением уравнения. Из графиков очевидно, что точка пересечения — это $(1, 0)$.

Выполним проверку, подставив $x = 1$ в исходное уравнение:
$\log_2 1 = -1 + 1$
$0 = 0$
Равенство верное.

Поскольку функция $y = \log_2 x$ является строго возрастающей на всей области определения, а функция $y = -x + 1$ — строго убывающей, они могут иметь не более одной точки пересечения. Следовательно, $x = 1$ — единственное решение уравнения.

Ответ: $x=1$.

б) Для решения уравнения $\log_{\frac{1}{3}} x = 2x - 2$ графическим методом, построим в одной системе координат графики функций $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y = 2x - 2$.

1. График функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ — это логарифмическая кривая. Область определения $x > 0$. Функция является убывающей, так как основание логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$. График проходит через ключевые точки, такие как $(3, -1)$, $(1, 0)$ и $(\frac{1}{3}, 1)$. Вертикальная асимптота — ось $y$ (прямая $x=0$).

2. График функции $y = 2x - 2$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки: если $x = 1$, то $y = 0$ (точка $(1, 0)$); если $x = 2$, то $y = 2$ (точка $(2, 2)$).

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в точке с абсциссой $x=1$.

Выполним проверку, подставив $x = 1$ в исходное уравнение:
$\log_{\frac{1}{3}} 1 = 2 \cdot 1 - 2$
$0 = 0$
Равенство верное.

Поскольку функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ является строго убывающей, а функция $y = 2x - 2$ — строго возрастающей, они могут иметь не более одной точки пересечения. Следовательно, $x = 1$ — единственное решение.

Ответ: $x=1$.

в) Для решения уравнения $\log_9 x = -x + 1$ графическим методом, построим в одной системе координат графики функций $y = \log_9 x$ и $y = -x + 1$.

1. График функции $y = \log_9 x$ — это логарифмическая кривая. Область определения $x > 0$. Функция возрастающая, так как основание $9 > 1$. График проходит через точки $(\frac{1}{9}, -1)$, $(1, 0)$ и $(9, 1)$. Вертикальная асимптота — ось $y$ (прямая $x=0$).

2. График функции $y = -x + 1$ — это прямая линия, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(1, 0)$.

Нанеся графики на координатную плоскость, мы видим, что они пересекаются в точке $(1, 0)$. Абсцисса этой точки $x=1$ является решением уравнения.

Выполним проверку, подставив $x = 1$ в исходное уравнение:
$\log_9 1 = -1 + 1$
$0 = 0$
Равенство верное.

Так как функция $y = \log_9 x$ является строго возрастающей, а функция $y = -x + 1$ — строго убывающей, они могут пересечься только в одной точке. Следовательно, $x = 1$ — единственное решение.

Ответ: $x=1$.

г) Для решения уравнения $\log_{\frac{3}{7}} x = 4x - 4$ графическим методом, построим в одной системе координат графики функций $y = \log_{\frac{3}{7}} x$ и $y = 4x - 4$.

1. График функции $y = \log_{\frac{3}{7}} x$ — это логарифмическая кривая. Область определения $x > 0$. Функция убывающая, так как основание $0 < \frac{3}{7} < 1$. График проходит через точки $(\frac{7}{3}, -1)$, $(1, 0)$ и $(\frac{3}{7}, 1)$. Вертикальная асимптота — ось $y$ (прямая $x=0$).

2. График функции $y = 4x - 4$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки: если $x=1$, то $y=0$ (точка $(1, 0)$); если $x=0$, то $y=-4$ (точка $(0, -4)$).

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в точке $(1, 0)$. Абсцисса этой точки $x=1$ является решением уравнения.

Выполним проверку, подставив $x = 1$ в исходное уравнение:
$\log_{\frac{3}{7}} 1 = 4 \cdot 1 - 4$
$0 = 0$
Равенство верное.

Так как функция $y = \log_{\frac{3}{7}} x$ является строго убывающей, а функция $y = 4x - 4$ — строго возрастающей, они могут иметь не более одной точки пересечения. Следовательно, $x = 1$ — единственное решение.

Ответ: $x=1$.