Номер 42.16, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§42. Функция у = log a x, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 42.16, страница 172.

42.16 a) $y = \log_5(x^2 - 5x + 6);$

б) $y = \log_{\frac{2}{3}}(-x^2 - 5x + 14);$

В) $y = \log_9(x^2 - 13x + 12);$

Г) $y = \log_{0,2}(-x^2 + 8x + 9).$

Чтобы найти область определения для каждой логарифмической функции вида $y = \log_a(f(x))$, необходимо решить неравенство $f(x) > 0$, так как аргумент логарифма должен быть строго положительным.

а)

Для функции $y = \log_5(x^2 - 5x + 6)$ область определения находится из условия:

$x^2 - 5x + 6 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 6$. Отсюда корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Неравенство можно переписать в виде $(x - 2)(x - 3) > 0$. Графиком функции $f(x) = x^2 - 5x + 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Таким образом, решением неравенства является объединение интервалов $(-\infty; 2) \cup (3; \infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 2) \cup (3; \infty)$.

б)

Для функции $y = \log_{\frac{2}{3}}(-x^2 - 5x + 14)$ область определения находится из условия:

$-x^2 - 5x + 14 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 + 5x - 14 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 5x - 14 = 0$. Используя формулу для корней квадратного уравнения, получаем: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$.

$x_1 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 - 9}{2} = -7$

$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 + 9}{2} = 2$

Неравенство можно записать как $(x + 7)(x - 2) < 0$. Ветви параболы $f(x) = x^2 + 5x - 14$ направлены вверх, поэтому значения функции отрицательны на интервале между корнями.

Решением неравенства является интервал $(-7; 2)$.

Ответ: $D(y) = (-7; 2)$.

в)

Для функции $y = \log_9(x^2 - 13x + 12)$ область определения находится из условия:

$x^2 - 13x + 12 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 13x + 12 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 13$, $x_1 \cdot x_2 = 12$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 12$.

Неравенство можно записать как $(x - 1)(x - 12) > 0$. Ветви параболы $f(x) = x^2 - 13x + 12$ направлены вверх, поэтому значения функции положительны вне интервала между корнями.

Решением является объединение интервалов $(-\infty; 1) \cup (12; \infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (12; \infty)$.

г)

Для функции $y = \log_{0.2}(-x^2 + 8x + 9)$ область определения находится из условия:

$-x^2 + 8x + 9 > 0$

Умножим неравенство на -1 и изменим знак:

$x^2 - 8x - 9 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 8x - 9 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 8$, $x_1 \cdot x_2 = -9$. Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 9$.

Неравенство можно записать как $(x + 1)(x - 9) < 0$. Ветви параболы $f(x) = x^2 - 8x - 9$ направлены вверх, поэтому значения функции отрицательны на интервале между корнями.

Решением неравенства является интервал $(-1; 9)$.

Ответ: $D(y) = (-1; 9)$.