Номер 42.13, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§42. Функция у = log a x, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 42.13, страница 172.

42.13 a) $y = -2 \log_7 x;$

б) $y = -4 \log_{\frac{1}{6}} x;$

В) $y = -0,5 \log_2 x;$

Г) $y = -\log_{\frac{2}{3}} x.$

Поскольку в задании не указан конкретный вопрос, проведем исследование каждой функции на монотонность (возрастание или убывание). Для этого будем анализировать основание логарифма $a$ и коэффициент $k$ в функции вида $y = k\log_a x$.

• Если $a > 1$, функция $\log_a x$ возрастает.
• Если $0 < a < 1$, функция $\log_a x$ убывает.
• Если коэффициент $k > 0$, характер монотонности сохраняется.
• Если коэффициент $k < 0$, характер монотонности меняется на противоположный.

а) $y = -2\log_7 x$

Это логарифмическая функция с областью определения $x > 0$, то есть $x \in (0; +\infty)$.

Основание логарифма $a = 7$. Так как $a > 1$, функция $f(x) = \log_7 x$ является возрастающей.

Коэффициент перед логарифмом $k = -2$. Так как $k < 0$, функция $y = -2\log_7 x$ имеет характер монотонности, противоположный функции $f(x) = \log_7 x$.

Следовательно, данная функция является убывающей на всей своей области определения.

Ответ: функция является убывающей.

б) $y = -4\log_{\frac{1}{6}} x$

Это логарифмическая функция с областью определения $x > 0$, то есть $x \in (0; +\infty)$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{6}$. Так как $0 < a < 1$, функция $f(x) = \log_{\frac{1}{6}} x$ является убывающей.

Коэффициент перед логарифмом $k = -4$. Так как $k < 0$, монотонность функции $y = -4\log_{\frac{1}{6}} x$ меняется на противоположную.

Убывающая функция, умноженная на отрицательное число, становится возрастающей. Следовательно, данная функция является возрастающей.

Также можно преобразовать выражение: $y = -4\log_{\frac{1}{6}} x = -4\log_{6^{-1}} x = -4(-1)\log_6 x = 4\log_6 x$. В новой записи основание $6 > 1$ и коэффициент $4 > 0$, что также указывает на то, что функция возрастающая.

Ответ: функция является возрастающей.

в) $y = -0,5\log_2 x$

Это логарифмическая функция с областью определения $x > 0$, то есть $x \in (0; +\infty)$.

Основание логарифма $a = 2$. Так как $a > 1$, функция $f(x) = \log_2 x$ является возрастающей.

Коэффициент перед логарифмом $k = -0,5$. Так как $k < 0$, функция $y = -0,5\log_2 x$ меняет характер монотонности на противоположный.

Следовательно, данная функция является убывающей.

Ответ: функция является убывающей.

г) $y = -\log_{\frac{2}{3}} x$

Это логарифмическая функция с областью определения $x > 0$, то есть $x \in (0; +\infty)$.

Основание логарифма $a = \frac{2}{3}$. Так как $0 < a < 1$, функция $f(x) = \log_{\frac{2}{3}} x$ является убывающей.

Коэффициент перед логарифмом $k = -1$. Так как $k < 0$, монотонность функции $y = -\log_{\frac{2}{3}} x$ меняется на противоположную.

Следовательно, данная функция является возрастающей.

Также можно преобразовать выражение: $y = -\log_{\frac{2}{3}} x = (-1)\log_{(3/2)^{-1}} x = (-1)(-1)\log_{3/2} x = \log_{3/2} x$. В новой записи основание $\frac{3}{2} > 1$, что указывает на то, что функция возрастающая.

Ответ: функция является возрастающей.