Номер 42.8, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§42. Функция у = log a x, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 42.8, страница 172.

42.8 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке $[a, b]:$

а) $y = \log_3 x, [\frac{1}{3}; 9];$

б) $y = \log_{\frac{1}{2}} x, [\frac{1}{8}; 16];$

в) $y = \lg x, [1; 1000];$

г) $y = \log_{\frac{2}{3}} x, [\frac{8}{27}; \frac{81}{16}].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений логарифмической функции $y = \log_c x$ на отрезке $[a, b]$ необходимо проанализировать ее монотонность, которая зависит от основания логарифма $c$.

• Если основание $c > 1$, функция является возрастающей. Следовательно, наименьшее значение достигается в левой границе отрезка ($x=a$), а наибольшее — в правой ($x=b$).
• Если основание $0 < c < 1$, функция является убывающей. Следовательно, наименьшее значение достигается в правой границе отрезка ($x=b$), а наибольшее — в левой ($x=a$).

а) Функция $y = \log_3 x$ задана на отрезке $[\frac{1}{3}; 9]$. Основание логарифма $c = 3$, что больше 1. Следовательно, функция является возрастающей. Наименьшее значение достигается при $x = \frac{1}{3}$, а наибольшее — при $x = 9$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(\frac{1}{3}) = \log_3(\frac{1}{3}) = \log_3(3^{-1}) = -1$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(9) = \log_3(9) = \log_3(3^2) = 2$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-1$, наибольшее значение функции равно $2$.

б) Функция $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ задана на отрезке $[\frac{1}{8}; 16]$. Основание логарифма $c = \frac{1}{2}$, что находится в интервале $(0, 1)$. Следовательно, функция является убывающей. Наибольшее значение достигается при $x = \frac{1}{8}$, а наименьшее — при $x = 16$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(\frac{1}{8}) = \log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{8}) = \log_{\frac{1}{2}}((\frac{1}{2})^3) = 3$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(16) = \log_{\frac{1}{2}}(16) = \log_{2^{-1}}(2^4) = -1 \cdot \log_2(2^4) = -4$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-4$, наибольшее значение функции равно $3$.

в) Функция $y = \lg x$ (десятичный логарифм, $y = \log_{10} x$) задана на отрезке $[1; 1000]$. Основание логарифма $c = 10$, что больше 1. Следовательно, функция является возрастающей. Наименьшее значение достигается при $x = 1$, а наибольшее — при $x = 1000$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(1) = \lg 1 = 0$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(1000) = \lg 1000 = \lg 10^3 = 3$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $0$, наибольшее значение функции равно $3$.

г) Функция $y = \log_{\frac{2}{3}} x$ задана на отрезке $[\frac{8}{27}; \frac{81}{16}]$. Основание логарифма $c = \frac{2}{3}$, что находится в интервале $(0, 1)$. Следовательно, функция является убывающей. Наибольшее значение достигается при $x = \frac{8}{27}$, а наименьшее — при $x = \frac{81}{16}$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(\frac{8}{27}) = \log_{\frac{2}{3}}(\frac{8}{27}) = \log_{\frac{2}{3}}((\frac{2}{3})^3) = 3$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(\frac{81}{16}) = \log_{\frac{2}{3}}(\frac{81}{16}) = \log_{\frac{2}{3}}(\frac{3^4}{2^4}) = \log_{\frac{2}{3}}((\frac{3}{2})^4) = \log_{\frac{2}{3}}((\frac{2}{3})^{-4}) = -4$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-4$, наибольшее значение функции равно $3$.