Номер 42.26, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§42. Функция у = log a x, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 42.26, страница 174.

42.26 Решите графически неравенство:

а) $\log_2 x \ge -x + 1$;

б) $\log_{\frac{3}{7}} x > 4x - 4$;

в) $\log_9 x \le -x + 1$;

г) $\log_{\frac{1}{3}} x < 2x - 2$.

а) Чтобы решить неравенство $log_2 x \ge -x + 1$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = \log_2 x$ и $y = -x + 1$.

1. График функции $y = \log_2 x$ — это логарифмическая кривая. Так как основание логарифма $2 > 1$, функция является возрастающей. Область определения функции: $x > 0$. График проходит через ключевые точки: $(1, 0)$, $(2, 1)$, $(4, 2)$. Ось $Oy$ является вертикальной асимптотой.

2. График функции $y = -x + 1$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки. Если $x=0$, то $y=1$. Если $y=0$, то $x=1$. Таким образом, прямая проходит через точки $(0, 1)$ и $(1, 0)$.

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Координаты этой точки можно найти, приравняв функции: $\log_2 x = -x + 1$. Легко заметить, что $x=1$ является корнем этого уравнения: $\log_2 1 = 0$ и $-1 + 1 = 0$. Таким образом, точка пересечения — $(1, 0)$.

Неравенство $\log_2 x \ge -x + 1$ выполняется для тех значений $x$, при которых график функции $y = \log_2 x$ находится не ниже (то есть выше или на том же уровне) графика функции $y = -x + 1$. Из графика видно, что это происходит для всех $x$ начиная с точки пересечения и правее, то есть при $x \ge 1$.

Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

б) Чтобы решить неравенство $\log_{\frac{3}{7}} x > 4x - 4$ графически, построим графики функций $y = \log_{\frac{3}{7}} x$ и $y = 4x - 4$.

1. График функции $y = \log_{\frac{3}{7}} x$ — логарифмическая кривая. Основание $0 < \frac{3}{7} < 1$, поэтому функция является убывающей. Область определения: $x > 0$. График проходит через точку $(1, 0)$.

2. График функции $y = 4x - 4$ — прямая. Найдем точки для построения: при $x=0$, $y=-4$; при $x=1$, $y=0$. Прямая проходит через точки $(0, -4)$ и $(1, 0)$.

Найдем точку пересечения графиков. Из построения видно, что оба графика проходят через точку $(1, 0)$. Проверим: $\log_{\frac{3}{7}} 1 = 0$ и $4(1) - 4 = 0$. Значит, $x=1$ — абсцисса точки пересечения.

Нам нужно найти значения $x$, при которых график $y = \log_{\frac{3}{7}} x$ находится строго выше графика $y = 4x - 4$. Поскольку логарифмическая функция убывает, а линейная возрастает, график логарифма будет выше левее точки их пересечения. Учитывая область определения логарифма ($x>0$), решение неравенства — это интервал от $0$ до $1$.

Ответ: $x \in (0, 1)$.

в) Чтобы решить неравенство $\log_9 x \le -x + 1$ графически, построим графики функций $y = \log_9 x$ и $y = -x + 1$.

1. График функции $y = \log_9 x$ — возрастающая (т.к. основание $9 > 1$) логарифмическая кривая, проходящая через точки $(1, 0)$ и $(9, 1)$. Область определения: $x > 0$.

2. График функции $y = -x + 1$ — прямая, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(1, 0)$ (как в пункте а).

Графики пересекаются в точке $(1, 0)$, так как $\log_9 1 = 0$ и $-1 + 1 = 0$.

Решением неравенства $\log_9 x \le -x + 1$ являются те значения $x$, при которых график логарифмической функции лежит не выше (то есть ниже или на одном уровне) графика прямой. Это наблюдается для значений $x$ левее точки пересечения, включая саму точку. С учетом области определения $x > 0$, получаем $0 < x \le 1$.

Ответ: $x \in (0, 1]$.

г) Чтобы решить неравенство $\log_{\frac{1}{3}} x < 2x - 2$ графически, построим графики функций $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y = 2x - 2$.

1. График функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ — убывающая (т.к. основание $0 < \frac{1}{3} < 1$) логарифмическая кривая. Она проходит через точки $(1, 0)$, $(\frac{1}{3}, 1)$, $(3, -1)$. Область определения: $x > 0$.

2. График функции $y = 2x - 2$ — прямая. Для построения возьмем точки: при $x=1$, $y=0$; при $x=2$, $y=2$. Прямая проходит через $(1, 0)$ и $(2, 2)$.

Оба графика пересекаются в точке $(1, 0)$, так как $\log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$ и $2(1) - 2 = 0$.

Нам нужно найти значения $x$, при которых график логарифма $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ находится строго ниже графика прямой $y = 2x - 2$. Так как логарифмическая функция убывает, а линейная возрастает, это будет происходить правее точки их пересечения. Таким образом, решение неравенства — это $x > 1$.

Ответ: $x \in (1, +\infty)$.