Номер 43.1, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§43. Свойства логарифмов. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 43.1, страница 174.

Вычислите:

43.1 a) $ \log_6 12 + \log_6 3; $

б) $ \lg 25 + \lg 4; $

в) $ \log_{26} 2 + \log_{26} 13; $

г) $ \log_{12} 4 + \log_{12} 36. $

а) Для вычисления суммы логарифмов с одинаковым основанием воспользуемся свойством логарифма: $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\log_6 12 + \log_6 3 = \log_6 (12 \cdot 3) = \log_6 36$.

Теперь вычислим значение полученного логарифма. Логарифм $\log_6 36$ — это степень, в которую нужно возвести основание 6, чтобы получить число 36. Так как $6^2 = 36$, то:

$\log_6 36 = 2$.

Ответ: 2

б) Выражение $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. Для решения также используем свойство суммы логарифмов: $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$.

$\lg 25 + \lg 4 = \lg (25 \cdot 4) = \lg 100$.

Десятичный логарифм $\lg 100$ — это степень, в которую нужно возвести 10, чтобы получить 100. Так как $10^2 = 100$, то:

$\lg 100 = 2$.

Ответ: 2

в) Снова используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$.

$\log_{26} 2 + \log_{26} 13 = \log_{26} (2 \cdot 13) = \log_{26} 26$.

По основному свойству логарифмов, логарифм числа по основанию, равному этому же числу, равен единице: $\log_a a = 1$. Следовательно:

$\log_{26} 26 = 1$.

Ответ: 1

г) Применяем свойство суммы логарифмов: $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$.

$\log_{12} 4 + \log_{12} 36 = \log_{12} (4 \cdot 36) = \log_{12} 144$.

Чтобы найти значение $\log_{12} 144$, нужно определить, в какую степень следует возвести 12, чтобы получить 144. Так как $12^2 = 144$, то:

$\log_{12} 144 = 2$.

Ответ: 2