Номер 32.39, страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 5. Производная. §32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции - номер 32.39, страница 128.

Условие.

32.39 Памятник состоит из статуи и постамента. К памятнику подошёл человек. Верхняя точка памятника находится выше уровня глаз человека на $a$ м, а верхняя точка постамента — на $b$ м. На каком расстоянии от памятника должен стать человек, чтобы видеть статую под наибольшим углом?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения этой задачи введем систему координат. Пусть глаз человека находится в точке $O$ — начале координат $(0,0)$. Памятник расположен на вертикальной оси. Расстояние от человека до памятника — это координата $x$ точки, где он стоит на горизонтальной оси. То есть, позиция глаза человека — точка $E(x, 0)$.

Из условия задачи, верхняя точка постамента (нижняя точка статуи) $B$ находится на высоте $b$ метров над уровнем глаз человека. Ее координаты — $(0, b)$. Верхняя точка памятника (верхняя точка статуи) $T$ находится на высоте $a$ метров над уровнем глаз. Ее координаты — $(0, a)$.

Человек видит статую под углом $\gamma = \angle BET$. Наша задача — найти такое значение $x > 0$, при котором угол $\gamma$ будет наибольшим.

Рассмотрим два способа решения.

Решение с помощью тригонометрии и производной

Угол $\gamma$ можно представить как разность двух углов: $\gamma = \alpha - \beta$, где:

• $\alpha = \angle TEO$ — угол, под которым видна вся часть памятника от уровня глаз до его вершины.
• $\beta = \angle BEO$ — угол, под которым виден постамент от уровня глаз до его вершины.

В прямоугольных треугольниках $\triangle TEO$ и $\triangle BEO$ имеем:

$\tan \alpha = \frac{TO}{EO} = \frac{a}{x}$

$\tan \beta = \frac{BO}{EO} = \frac{b}{x}$

Мы хотим максимизировать угол $\gamma = \alpha - \beta$. Поскольку угол $\gamma$ находится в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, его значение будет максимальным тогда, когда будет максимальным его тангенс.

Используем формулу тангенса разности:

$\tan \gamma = \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$

Подставим наши значения:

$\tan \gamma = \frac{\frac{a}{x} - \frac{b}{x}}{1 + \frac{a}{x} \cdot \frac{b}{x}} = \frac{\frac{a-b}{x}}{1 + \frac{ab}{x^2}} = \frac{\frac{a-b}{x}}{\frac{x^2+ab}{x^2}} = \frac{(a-b)x}{x^2+ab}$

Теперь нам нужно найти максимум функции $f(x) = \frac{(a-b)x}{x^2+ab}$ при $x > 0$. Для этого найдем ее производную по $x$ и приравняем к нулю. Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$u(x) = (a-b)x \implies u'(x) = a-b$

$v(x) = x^2+ab \implies v'(x) = 2x$

$f'(x) = \frac{(a-b)(x^2+ab) - (a-b)x \cdot (2x)}{(x^2+ab)^2} = \frac{(a-b)(x^2+ab - 2x^2)}{(x^2+ab)^2} = \frac{(a-b)(ab - x^2)}{(x^2+ab)^2}$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти экстремумы. Знаменатель всегда положителен, поэтому достаточно приравнять к нулю числитель:

$(a-b)(ab - x^2) = 0$

Поскольку верхняя точка памятника выше верхней точки постамента, $a > b$, и, следовательно, $a-b \neq 0$. Значит, мы можем разделить обе части на $(a-b)$:

$ab - x^2 = 0$

$x^2 = ab$

Так как расстояние $x$ должно быть положительным, получаем:

$x = \sqrt{ab}$

Можно убедиться, что это точка максимума. Если $x < \sqrt{ab}$, то $x^2 < ab$, и $f'(x) > 0$ (функция возрастает). Если $x > \sqrt{ab}$, то $x^2 > ab$, и $f'(x) < 0$ (функция убывает). Следовательно, в точке $x = \sqrt{ab}$ достигается максимум.

Геометрическое решение

Рассмотрим окружность, проходящую через три точки: $B(0, b)$, $T(0, a)$ и $E(x, 0)$. Угол $\gamma = \angle BET$ является вписанным углом, опирающимся на хорду $BT$. Для фиксированной хорды $BT$ вписанный угол будет максимальным, когда радиус описанной окружности минимален. Это произойдет, когда окружность будет касаться прямой, на которой находится наблюдатель (ось $Ox$).

Итак, мы ищем такую точку $E(x, 0)$, что окружность, проходящая через $B$, $T$ и $E$, касается оси $Ox$ в точке $E$.

Воспользуемся теоремой о касательной и секущей (или о степени точки). Степень начала координат $O(0,0)$ относительно этой окружности можно вычислить двумя способами:

1. Как произведение отрезков секущей, проведенной из точки $O$ вдоль оси $Oy$. Секущая пересекает окружность в точках $B$ и $T$. Степень точки $O$ равна $OB \cdot OT = b \cdot a$.

2. Как квадрат длины отрезка касательной, проведенной из точки $O$ к окружности. Поскольку окружность касается оси $Ox$ в точке $E(x,0)$, то отрезок $OE$ является касательной (если начало координат не лежит на окружности). Длина этого отрезка равна $x$. Таким образом, степень точки $O$ равна $OE^2 = x^2$.

Приравнивая два выражения для степени точки $O$, получаем:

$x^2 = ab$

Откуда, так как $x>0$,

$x = \sqrt{ab}$

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: человек должен стать на расстоянии $\sqrt{ab}$ метров от памятника.