Номер 32.39, страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.39, страница 128.

32.39 Памятник состоит из статуи и постамента. К памятнику подошёл человек. Верхняя точка памятника находится выше уровня глаз человека на $a$ м, а верхняя точка постамента — на $b$ м. На каком расстоянии от памятника должен стать человек, чтобы видеть статую под наибольшим углом?

Для решения этой задачи введем систему координат. Пусть глаз человека находится в точке $O$ — начале координат $(0,0)$. Памятник расположен на вертикальной оси. Расстояние от человека до памятника — это координата $x$ точки, где он стоит на горизонтальной оси. То есть, позиция глаза человека — точка $E(x, 0)$.

Из условия задачи, верхняя точка постамента (нижняя точка статуи) $B$ находится на высоте $b$ метров над уровнем глаз человека. Ее координаты — $(0, b)$. Верхняя точка памятника (верхняя точка статуи) $T$ находится на высоте $a$ метров над уровнем глаз. Ее координаты — $(0, a)$.

Человек видит статую под углом $\gamma = \angle BET$. Наша задача — найти такое значение $x > 0$, при котором угол $\gamma$ будет наибольшим.

Рассмотрим два способа решения.

Решение с помощью тригонометрии и производной

Угол $\gamma$ можно представить как разность двух углов: $\gamma = \alpha - \beta$, где:

• $\alpha = \angle TEO$ — угол, под которым видна вся часть памятника от уровня глаз до его вершины.
• $\beta = \angle BEO$ — угол, под которым виден постамент от уровня глаз до его вершины.

В прямоугольных треугольниках $\triangle TEO$ и $\triangle BEO$ имеем:

$\tan \alpha = \frac{TO}{EO} = \frac{a}{x}$

$\tan \beta = \frac{BO}{EO} = \frac{b}{x}$

Мы хотим максимизировать угол $\gamma = \alpha - \beta$. Поскольку угол $\gamma$ находится в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, его значение будет максимальным тогда, когда будет максимальным его тангенс.

Используем формулу тангенса разности:

$\tan \gamma = \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$

Подставим наши значения:

$\tan \gamma = \frac{\frac{a}{x} - \frac{b}{x}}{1 + \frac{a}{x} \cdot \frac{b}{x}} = \frac{\frac{a-b}{x}}{1 + \frac{ab}{x^2}} = \frac{\frac{a-b}{x}}{\frac{x^2+ab}{x^2}} = \frac{(a-b)x}{x^2+ab}$

Теперь нам нужно найти максимум функции $f(x) = \frac{(a-b)x}{x^2+ab}$ при $x > 0$. Для этого найдем ее производную по $x$ и приравняем к нулю. Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$u(x) = (a-b)x \implies u'(x) = a-b$

$v(x) = x^2+ab \implies v'(x) = 2x$

$f'(x) = \frac{(a-b)(x^2+ab) - (a-b)x \cdot (2x)}{(x^2+ab)^2} = \frac{(a-b)(x^2+ab - 2x^2)}{(x^2+ab)^2} = \frac{(a-b)(ab - x^2)}{(x^2+ab)^2}$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти экстремумы. Знаменатель всегда положителен, поэтому достаточно приравнять к нулю числитель:

$(a-b)(ab - x^2) = 0$

Поскольку верхняя точка памятника выше верхней точки постамента, $a > b$, и, следовательно, $a-b \neq 0$. Значит, мы можем разделить обе части на $(a-b)$:

$ab - x^2 = 0$

$x^2 = ab$

Так как расстояние $x$ должно быть положительным, получаем:

$x = \sqrt{ab}$

Можно убедиться, что это точка максимума. Если $x < \sqrt{ab}$, то $x^2 < ab$, и $f'(x) > 0$ (функция возрастает). Если $x > \sqrt{ab}$, то $x^2 > ab$, и $f'(x) < 0$ (функция убывает). Следовательно, в точке $x = \sqrt{ab}$ достигается максимум.

Геометрическое решение

Рассмотрим окружность, проходящую через три точки: $B(0, b)$, $T(0, a)$ и $E(x, 0)$. Угол $\gamma = \angle BET$ является вписанным углом, опирающимся на хорду $BT$. Для фиксированной хорды $BT$ вписанный угол будет максимальным, когда радиус описанной окружности минимален. Это произойдет, когда окружность будет касаться прямой, на которой находится наблюдатель (ось $Ox$).

Итак, мы ищем такую точку $E(x, 0)$, что окружность, проходящая через $B$, $T$ и $E$, касается оси $Ox$ в точке $E$.

Воспользуемся теоремой о касательной и секущей (или о степени точки). Степень начала координат $O(0,0)$ относительно этой окружности можно вычислить двумя способами:

1. Как произведение отрезков секущей, проведенной из точки $O$ вдоль оси $Oy$. Секущая пересекает окружность в точках $B$ и $T$. Степень точки $O$ равна $OB \cdot OT = b \cdot a$.

2. Как квадрат длины отрезка касательной, проведенной из точки $O$ к окружности. Поскольку окружность касается оси $Ox$ в точке $E(x,0)$, то отрезок $OE$ является касательной (если начало координат не лежит на окружности). Длина этого отрезка равна $x$. Таким образом, степень точки $O$ равна $OE^2 = x^2$.

Приравнивая два выражения для степени точки $O$, получаем:

$x^2 = ab$

Откуда, так как $x>0$,

$x = \sqrt{ab}$

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: человек должен стать на расстоянии $\sqrt{ab}$ метров от памятника.