Номер 32.34, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.34, страница 127.

32.34 Для перевозки груза требуется изготовить закрытый короб в форме прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого относились бы как 2 : 3, а объём составлял $576\text{ м}^3$. Каковы должны быть измерения параллелепипеда, чтобы его полная поверхность была наименьшей?

Пусть стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны $a$ и $b$, а его высота равна $h$.

Согласно условию задачи, стороны основания относятся как $2:3$. Мы можем выразить их через одну переменную $x > 0$: $a = 2x$ и $b = 3x$.

Объем $V$ параллелепипеда вычисляется по формуле $V = abh$. Подставим в нее выражения для сторон основания и заданное значение объема:

$V = (2x)(3x)h = 6x^2h$

$576 = 6x^2h$

Отсюда можно выразить высоту $h$ через $x$:

$h = \frac{576}{6x^2} = \frac{96}{x^2}$

Площадь полной поверхности $S$ закрытого короба равна сумме площадей его граней:

$S = 2(ab + ah + bh)$

Чтобы найти измерения, при которых площадь поверхности будет наименьшей, нужно выразить $S$ как функцию от одной переменной $x$, подставив выражения для $a$, $b$ и $h$:

$S(x) = 2\left((2x)(3x) + (2x)\frac{96}{x^2} + (3x)\frac{96}{x^2}\right)$

$S(x) = 2\left(6x^2 + \frac{192}{x} + \frac{288}{x}\right)$

$S(x) = 2\left(6x^2 + \frac{480}{x}\right) = 12x^2 + \frac{960}{x}$

Для нахождения минимума функции $S(x)$, найдем ее производную $S'(x)$ и приравняем к нулю:

$S'(x) = (12x^2 + 960x^{-1})' = 24x - 960x^{-2} = 24x - \frac{960}{x^2}$

$S'(x) = 0 \Rightarrow 24x - \frac{960}{x^2} = 0$

$24x^3 = 960$

$x^3 = \frac{960}{24} = 40$

$x = \sqrt[3]{40}$

Чтобы убедиться, что это точка минимума, используем вторую производную:

$S''(x) = (24x - 960x^{-2})' = 24 + 1920x^{-3} = 24 + \frac{1920}{x^3}$

Так как $x > 0$, то $S''(x)$ всегда положительна, что подтверждает, что найденное значение $x$ соответствует минимуму площади поверхности.

Теперь вычислим искомые размеры параллелепипеда. Упростим $x = \sqrt[3]{40} = \sqrt[3]{8 \cdot 5} = 2\sqrt[3]{5}$.

Стороны основания:

$a = 2x = 2(2\sqrt[3]{5}) = 4\sqrt[3]{5}$ м.

$b = 3x = 3(2\sqrt[3]{5}) = 6\sqrt[3]{5}$ м.

Высота:

$h = \frac{96}{x^2} = \frac{96}{(2\sqrt[3]{5})^2} = \frac{96}{4(\sqrt[3]{5})^2} = \frac{24}{\sqrt[3]{25}}$ м.

Можно также представить высоту в другом виде, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$h = \frac{24}{\sqrt[3]{25}} \cdot \frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{5}} = \frac{24\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{24\sqrt[3]{5}}{5} = 4.8\sqrt[3]{5}$ м.

Ответ: измерения параллелепипеда должны быть $4\sqrt[3]{5}$ м, $6\sqrt[3]{5}$ м и $4.8\sqrt[3]{5}$ м.