Номер 32.27, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.27, страница 126.

32.27 Площадь прямоугольника составляет $16 \text{ см}^2$. Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим?

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Поскольку это длины сторон, $a > 0$ и $b > 0$.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. По условию задачи, площадь составляет 16 см², значит, мы имеем уравнение:$a \cdot b = 16$

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Нам нужно найти такие значения $a$ и $b$, при которых значение $P$ будет наименьшим.

Для этого выразим одну переменную через другую из уравнения площади. Например, выразим $b$ через $a$:$b = \frac{16}{a}$

Теперь подставим это выражение в формулу периметра. Периметр станет функцией одной переменной $a$:$P(a) = 2 \left( a + \frac{16}{a} \right)$

Чтобы найти наименьшее значение этой функции, нужно найти ее производную по переменной $a$ и приравнять ее к нулю.$P(a) = 2a + \frac{32}{a}$Найдем производную $P'(a)$:$P'(a) = \left( 2a + \frac{32}{a} \right)' = (2a)' + (32a^{-1})' = 2 - 32a^{-2} = 2 - \frac{32}{a^2}$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:$P'(a) = 0$$2 - \frac{32}{a^2} = 0$$2 = \frac{32}{a^2}$$2a^2 = 32$$a^2 = 16$

Так как $a$ — это длина стороны, она должна быть положительной, поэтому $a = 4$ см.

Чтобы убедиться, что при $a=4$ периметр будет именно наименьшим, а не наибольшим, найдем вторую производную:$P''(a) = \left( 2 - 32a^{-2} \right)' = 0 - 32(-2)a^{-3} = \frac{64}{a^3}$При $a=4$, значение второй производной $P''(4) = \frac{64}{4^3} = \frac{64}{64} = 1$.Поскольку $P''(4) > 0$, то точка $a=4$ является точкой минимума функции $P(a)$.

Теперь найдем соответствующее значение для второй стороны $b$:$b = \frac{16}{a} = \frac{16}{4} = 4$ см.

Следовательно, прямоугольник с наименьшим периметром при заданной площади 16 см² является квадратом со стороной 4 см.
Ответ: размеры прямоугольника должны быть 4 см на 4 см.