Номер 32.22, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.22, страница 126.

32.22 Разность двух чисел равна 98. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение.

Пусть искомые числа будут $x$ и $y$.

По условию задачи, их разность равна 98. Это можно записать в виде уравнения:

$x - y = 98$

Из этого уравнения выразим переменную $x$ через $y$:

$x = 98 + y$

Нам нужно найти такие числа, чтобы их произведение $P = x \cdot y$ было наименьшим. Подставим выражение для $x$ в формулу для произведения, чтобы получить функцию одной переменной $P(y)$:

$P(y) = (98 + y) \cdot y$

$P(y) = y^2 + 98y$

Полученная функция $P(y)$ является квадратичной. Ее график — это парабола с ветвями, направленными вверх (поскольку коэффициент при $y^2$ равен 1, что больше нуля). Наименьшее значение такой функции достигается в ее вершине.

Абсциссу вершины параболы, заданной уравнением $f(y) = ay^2 + by + c$, находят по формуле $y_0 = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае $a=1$ и $b=98$. Найдем значение $y$, при котором произведение $P$ будет минимальным:

$y = -\frac{98}{2 \cdot 1} = -49$

Теперь, зная значение $y$, мы можем найти соответствующее значение $x$:

$x = 98 + y = 98 + (-49) = 49$

Следовательно, искомые числа — это 49 и -49.

Проверим выполнение условий задачи:
1. Разность чисел: $49 - (-49) = 49 + 49 = 98$. Условие выполняется.
2. Произведение $49 \cdot (-49) = -2401$ является наименьшим возможным, так как оно соответствует значению функции в вершине параболы.

Ответ: -49 и 49.