Номер 32.22, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 5. Производная. §32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции - номер 32.22, страница 126.

Условие.

32.22 Разность двух чисел равна 98. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть искомые числа будут $x$ и $y$.

По условию задачи, их разность равна 98. Это можно записать в виде уравнения:

$x - y = 98$

Из этого уравнения выразим переменную $x$ через $y$:

$x = 98 + y$

Нам нужно найти такие числа, чтобы их произведение $P = x \cdot y$ было наименьшим. Подставим выражение для $x$ в формулу для произведения, чтобы получить функцию одной переменной $P(y)$:

$P(y) = (98 + y) \cdot y$

$P(y) = y^2 + 98y$

Полученная функция $P(y)$ является квадратичной. Ее график — это парабола с ветвями, направленными вверх (поскольку коэффициент при $y^2$ равен 1, что больше нуля). Наименьшее значение такой функции достигается в ее вершине.

Абсциссу вершины параболы, заданной уравнением $f(y) = ay^2 + by + c$, находят по формуле $y_0 = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае $a=1$ и $b=98$. Найдем значение $y$, при котором произведение $P$ будет минимальным:

$y = -\frac{98}{2 \cdot 1} = -49$

Теперь, зная значение $y$, мы можем найти соответствующее значение $x$:

$x = 98 + y = 98 + (-49) = 49$

Следовательно, искомые числа — это 49 и -49.

Проверим выполнение условий задачи:
1. Разность чисел: $49 - (-49) = 49 + 49 = 98$. Условие выполняется.
2. Произведение $49 \cdot (-49) = -2401$ является наименьшим возможным, так как оно соответствует значению функции в вершине параболы.

Ответ: -49 и 49.