Номер 32.15, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.15, страница 125.

32.15 a) $y = x + \frac{1}{x}$, $(-\infty; 0)$;

б) $y = \frac{3x}{x^2 + 3}$, $[0; +\infty)$;

в) $y = -2x - \frac{1}{2x}$, $(0; +\infty)$;

г) $y = \sqrt{2x + 6} - x$, $[-3; +\infty)$.

а) $y = x + \frac{1}{x}$, $(-\infty; 0)$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции найдем ее производную и критические точки.

1. Находим производную функции:
$y' = (x + x^{-1})' = 1 - x^{-2} = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$.

2. Находим критические точки:
Приравняем производную к нулю: $y' = 0$.
$\frac{x^2 - 1}{x^2} = 0$.
$x^2 - 1 = 0$, при условии что $x \neq 0$.
$(x - 1)(x + 1) = 0$.
Критические точки: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

3. Анализ критических точек на заданном интервале:
Интервал $(-\infty; 0)$. Точка $x = 1$ не принадлежит этому интервалу. Точка $x = -1$ принадлежит.

4. Определяем знаки производной и промежутки монотонности:
- На интервале $(-\infty; -1)$, возьмем точку $x = -2$. $y'(-2) = 1 - \frac{1}{(-2)^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} > 0$. Функция возрастает. - На интервале $(-1; 0)$, возьмем точку $x = -0.5$. $y'(-0.5) = 1 - \frac{1}{(-0.5)^2} = 1 - 4 = -3 < 0$. Функция убывает.

В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума. Найдем значение функции в этой точке: $y_{max} = y(-1) = -1 + \frac{1}{-1} = -1 - 1 = -2$.

Поскольку на интервале $(-\infty; 0)$ функция стремится к $-\infty$ при $x \to -\infty$ и при $x \to 0^{-}$, наименьшего значения у функции нет.

Ответ: наибольшее значение функции $y_{max} = -2$, наименьшего значения нет.

б) $y = \frac{3x}{x^2 + 3}$, $[0; +\infty)$

1. Находим производную функции, используя правило частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$y' = \frac{(3x)'(x^2 + 3) - 3x(x^2 + 3)'}{(x^2 + 3)^2} = \frac{3(x^2 + 3) - 3x(2x)}{(x^2 + 3)^2} = \frac{3x^2 + 9 - 6x^2}{(x^2 + 3)^2} = \frac{9 - 3x^2}{(x^2 + 3)^2}$.

2. Находим критические точки:
$y' = 0 \Rightarrow 9 - 3x^2 = 0 \Rightarrow 3x^2 = 9 \Rightarrow x^2 = 3$.
Критические точки: $x_1 = \sqrt{3}$, $x_2 = -\sqrt{3}$.

3. Анализ критических точек на заданном интервале:
Интервал $[0; +\infty)$. Точка $x = -\sqrt{3}$ не принадлежит этому интервалу. Точка $x = \sqrt{3}$ принадлежит.

4. Определяем знаки производной и промежутки монотонности:
- На интервале $[0; \sqrt{3})$, возьмем $x = 1$. $y'(1) = \frac{9 - 3(1)^2}{(1^2+3)^2} = \frac{6}{16} > 0$. Функция возрастает. - На интервале $(\sqrt{3}; +\infty)$, возьмем $x = 2$. $y'(2) = \frac{9 - 3(2)^2}{(2^2+3)^2} = \frac{9 - 12}{49} < 0$. Функция убывает.

В точке $x = \sqrt{3}$ достигается максимум. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений на промежутке, вычислим значения функции в критической точке и на концах промежутка.

- Значение на левой границе: $y(0) = \frac{3 \cdot 0}{0^2 + 3} = 0$.
- Значение в точке максимума: $y(\sqrt{3}) = \frac{3\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2 + 3} = \frac{3\sqrt{3}}{3+3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
- Поведение на правой границе (бесконечность): $\lim_{x\to+\infty} \frac{3x}{x^2+3} = \lim_{x\to+\infty} \frac{3/x}{1+3/x^2} = 0$.

Сравнивая полученные значения, заключаем, что $y_{max} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $y_{min} = 0$.

Ответ: наибольшее значение функции $y_{max} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, наименьшее значение $y_{min} = 0$.

в) $y = -2x - \frac{1}{2x}$, $(0; +\infty)$

1. Находим производную функции:
$y' = (-2x - \frac{1}{2}x^{-1})' = -2 - \frac{1}{2}(-1)x^{-2} = -2 + \frac{1}{2x^2} = \frac{1 - 4x^2}{2x^2}$.

2. Находим критические точки:
$y' = 0 \Rightarrow 1 - 4x^2 = 0 \Rightarrow 4x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{4}$.
Критические точки: $x_1 = \frac{1}{2}$, $x_2 = -\frac{1}{2}$.

3. Анализ критических точек на заданном интервале:
Интервал $(0; +\infty)$. Точка $x = -\frac{1}{2}$ не принадлежит этому интервалу. Точка $x = \frac{1}{2}$ принадлежит.

4. Определяем знаки производной и промежутки монотонности:
- На интервале $(0; \frac{1}{2})$, возьмем $x = 0.1$. $y'(0.1) = -2 + \frac{1}{2(0.1)^2} = -2 + 50 = 48 > 0$. Функция возрастает. - На интервале $(\frac{1}{2}; +\infty)$, возьмем $x = 1$. $y'(1) = -2 + \frac{1}{2(1)^2} = -1.5 < 0$. Функция убывает.

В точке $x = \frac{1}{2}$ производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка максимума. $y_{max} = y(\frac{1}{2}) = -2(\frac{1}{2}) - \frac{1}{2(\frac{1}{2})} = -1 - 1 = -2$.

Поскольку при $x \to 0^+$ и при $x \to +\infty$ функция стремится к $-\infty$, наименьшего значения у функции нет.

Ответ: наибольшее значение функции $y_{max} = -2$, наименьшего значения нет.

г) $y = \sqrt{2x+6} - x$, $[-3; +\infty)$

Область определения функции $2x+6 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3$, что совпадает с заданным промежутком.

1. Находим производную функции:
$y' = (\sqrt{2x+6} - x)' = \frac{1}{2\sqrt{2x+6}} \cdot (2x+6)' - 1 = \frac{2}{2\sqrt{2x+6}} - 1 = \frac{1}{\sqrt{2x+6}} - 1$.

2. Находим критические точки:
- Приравняем производную к нулю: $y' = 0 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2x+6}} - 1 = 0 \Rightarrow \sqrt{2x+6} = 1$. Возводим в квадрат: $2x+6 = 1 \Rightarrow 2x = -5 \Rightarrow x = -2.5$. - Производная не определена при $2x+6=0 \Rightarrow x=-3$. Это левая граница промежутка.

3. Анализ критических точек на заданном интервале:
Точка $x = -2.5$ принадлежит интервалу $[-3; +\infty)$.

4. Определяем знаки производной и промежутки монотонности:
- На интервале $(-3; -2.5)$, возьмем $x = -2.9$. $y'(-2.9) = \frac{1}{\sqrt{2(-2.9)+6}} - 1 = \frac{1}{\sqrt{0.2}} - 1 > 0$. Функция возрастает. - На интервале $(-2.5; +\infty)$, возьмем $x = -1$. $y'(-1) = \frac{1}{\sqrt{2(-1)+6}} - 1 = \frac{1}{2} - 1 < 0$. Функция убывает.

В точке $x = -2.5$ достигается максимум. Сравним значения функции на границе промежутка и в точке максимума.

- Значение на левой границе: $y(-3) = \sqrt{2(-3)+6} - (-3) = \sqrt{0} + 3 = 3$.
- Значение в точке максимума: $y(-2.5) = \sqrt{2(-2.5)+6} - (-2.5) = \sqrt{1} + 2.5 = 3.5$.
- Поведение на бесконечности: $\lim_{x\to+\infty} (\sqrt{2x+6}-x) = -\infty$.

Следовательно, наибольшее значение функции равно $3.5$, а наименьшего значения не существует.

Ответ: наибольшее значение функции $y_{max} = 3.5$, наименьшего значения нет.