Номер 32.9, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.9, страница 124.

32.9 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = x^3 + 3x^2 - 45x - 2$ на отрезке:

a) $[-6; 0];$

б) $[1; 2];$

в) $[-6; -1];$

г) $[0; 2].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо сначала найти критические точки функции, а затем сравнить значения функции в этих точках (если они принадлежат отрезку) и на концах отрезка.

Дана функция $y = x^3 + 3x^2 - 45x - 2$.

1. Найдем производную функции:

$y' = (x^3 + 3x^2 - 45x - 2)' = 3x^2 + 6x - 45$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$3x^2 + 6x - 45 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$x^2 + 2x - 15 = 0$

Решая это квадратное уравнение (например, по теореме Виета или через дискриминант), находим корни:

$(x+5)(x-3) = 0$

Критические точки: $x_1 = -5$ и $x_2 = 3$.

Теперь рассмотрим каждый отрезок отдельно.

а) На отрезке $[-6; 0]$

Критическая точка $x = -5$ принадлежит этому отрезку, а точка $x = 3$ — нет.

Вычислим значения функции на концах отрезка ($x=-6$, $x=0$) и в критической точке $x=-5$:

• $y(-6) = (-6)^3 + 3(-6)^2 - 45(-6) - 2 = -216 + 3 \cdot 36 + 270 - 2 = -216 + 108 + 270 - 2 = 160$
• $y(-5) = (-5)^3 + 3(-5)^2 - 45(-5) - 2 = -125 + 3 \cdot 25 + 225 - 2 = -125 + 75 + 225 - 2 = 173$
• $y(0) = 0^3 + 3 \cdot 0^2 - 45 \cdot 0 - 2 = -2$

Сравнивая полученные значения $\{160, 173, -2\}$, заключаем, что наибольшее значение равно 173, а наименьшее — -2.

Ответ: наибольшее значение 173, наименьшее значение -2.

б) На отрезке $[1; 2]$

Ни одна из критических точек ($x = -5$, $x = 3$) не принадлежит этому отрезку.

Следовательно, наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка. Вычислим их:

• $y(1) = 1^3 + 3 \cdot 1^2 - 45 \cdot 1 - 2 = 1 + 3 - 45 - 2 = -43$
• $y(2) = 2^3 + 3 \cdot 2^2 - 45 \cdot 2 - 2 = 8 + 12 - 90 - 2 = -72$

Сравнивая значения $\{-43, -72\}$, видим, что наибольшее значение равно -43, а наименьшее — -72.

Ответ: наибольшее значение -43, наименьшее значение -72.

в) На отрезке $[-6; -1]$

Критическая точка $x = -5$ принадлежит этому отрезку, а точка $x = 3$ — нет.

Вычислим значения функции на концах отрезка ($x=-6$, $x=-1$) и в критической точке $x=-5$:

• $y(-6) = 160$ (вычислено в пункте а))
• $y(-5) = 173$ (вычислено в пункте а))
• $y(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 - 45(-1) - 2 = -1 + 3 + 45 - 2 = 45$

Среди значений $\{160, 173, 45\}$ наибольшее равно 173, а наименьшее — 45.

Ответ: наибольшее значение 173, наименьшее значение 45.

г) На отрезке $[0; 2]$

Ни одна из критических точек ($x = -5$, $x = 3$) не принадлежит этому отрезку.

Вычисляем значения функции на концах отрезка $x=0$ и $x=2$:

• $y(0) = -2$ (вычислено в пункте а))
• $y(2) = -72$ (вычислено в пункте б))

Сравнивая значения $\{-2, -72\}$, видим, что наибольшее значение равно -2, а наименьшее — -72.

Ответ: наибольшее значение -2, наименьшее значение -72.