Номер 32.8, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.8, страница 124.

32.8 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = x^3 - 9x^2 + 24x - 1$ на отрезке:

а) $[-1; 3];$

б) $[3; 6];$

в) $[-2; 3];$

г) $[3; 5].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^3 - 9x^2 + 24x - 1$ на заданных отрезках, необходимо сначала найти ее производную и критические точки. Алгоритм решения заключается в том, чтобы вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку, и на концах этого отрезка, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее.

1. Найдем производную функции:

$y' = (x^3 - 9x^2 + 24x - 1)' = 3x^2 - 18x + 24$

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$3x^2 - 18x + 24 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Корни этого квадратного уравнения (по теореме Виета) равны $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. Это критические точки функции.

а) На отрезке $[-1; 3]$

Критическая точка $x=2$ принадлежит отрезку $[-1; 3]$, а точка $x=4$ не принадлежит.

Вычислим значения функции в точках $x=-1$, $x=2$ (критическая точка) и $x=3$:

$y(-1) = (-1)^3 - 9(-1)^2 + 24(-1) - 1 = -1 - 9 - 24 - 1 = -35$

$y(2) = 2^3 - 9(2^2) + 24(2) - 1 = 8 - 36 + 48 - 1 = 19$

$y(3) = 3^3 - 9(3^2) + 24(3) - 1 = 27 - 81 + 72 - 1 = 17$

Сравнивая значения $\{-35, 19, 17\}$, находим, что наибольшее значение функции равно 19, а наименьшее -35.

Ответ: $y_{наиб.} = 19$, $y_{наим.} = -35$.

б) На отрезке $[3; 6]$

Критическая точка $x=4$ принадлежит отрезку $[3; 6]$, а точка $x=2$ не принадлежит.

Вычислим значения функции в точках $x=3$, $x=4$ (критическая точка) и $x=6$:

$y(3) = 3^3 - 9(3^2) + 24(3) - 1 = 17$

$y(4) = 4^3 - 9(4^2) + 24(4) - 1 = 64 - 144 + 96 - 1 = 15$

$y(6) = 6^3 - 9(6^2) + 24(6) - 1 = 216 - 324 + 144 - 1 = 35$

Сравнивая значения $\{17, 15, 35\}$, находим, что наибольшее значение функции равно 35, а наименьшее 15.

Ответ: $y_{наиб.} = 35$, $y_{наим.} = 15$.

в) На отрезке $[-2; 3]$

Критическая точка $x=2$ принадлежит отрезку $[-2; 3]$, а точка $x=4$ не принадлежит.

Вычислим значения функции в точках $x=-2$, $x=2$ (критическая точка) и $x=3$:

$y(-2) = (-2)^3 - 9(-2)^2 + 24(-2) - 1 = -8 - 36 - 48 - 1 = -93$

$y(2) = 2^3 - 9(2^2) + 24(2) - 1 = 19$

$y(3) = 3^3 - 9(3^2) + 24(3) - 1 = 17$

Сравнивая значения $\{-93, 19, 17\}$, находим, что наибольшее значение функции равно 19, а наименьшее -93.

Ответ: $y_{наиб.} = 19$, $y_{наим.} = -93$.

г) На отрезке $[3; 5]$

Критическая точка $x=4$ принадлежит отрезку $[3; 5]$, а точка $x=2$ не принадлежит.

Вычислим значения функции в точках $x=3$, $x=4$ (критическая точка) и $x=5$:

$y(3) = 3^3 - 9(3^2) + 24(3) - 1 = 17$

$y(4) = 4^3 - 9(4^2) + 24(4) - 1 = 15$

$y(5) = 5^3 - 9(5^2) + 24(5) - 1 = 125 - 225 + 120 - 1 = 19$

Сравнивая значения $\{17, 15, 19\}$, находим, что наибольшее значение функции равно 19, а наименьшее 15.

Ответ: $y_{наиб.} = 19$, $y_{наим.} = 15$.