Номер 32.1, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.1, страница 123.

Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке:

32.1 а) $y = 3x - 6, [-1; 4];$

б) $y = -\frac{8}{x}, [\frac{1}{4}; 8];$

в) $y = -0,5x + 4, [-2; 6];$

г) $y = \frac{3}{x}, [0,3; 2].$

а) $y = 3x - 6$ на отрезке $[-1; 4]$.

Данная функция является линейной с угловым коэффициентом $k=3$. Так как $k > 0$, функция строго возрастает на всей своей области определения, в том числе и на отрезке $[-1; 4]$.

Для возрастающей функции на отрезке ее наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наименьшее значение при $x = -1$: $y_{наим} = y(-1) = 3 \cdot (-1) - 6 = -3 - 6 = -9$.
Наибольшее значение при $x = 4$: $y_{наиб} = y(4) = 3 \cdot 4 - 6 = 12 - 6 = 6$.

Ответ: наименьшее значение функции -9, наибольшее значение 6.

б) $y = -\frac{8}{x}$ на отрезке $[\frac{1}{4}; 8]$.

Данная функция является обратной пропорциональностью и непрерывна на заданном отрезке, так как точка разрыва $x=0$ не принадлежит ему. Для определения характера монотонности функции найдем ее производную:
$y' = \left(-\frac{8}{x}\right)' = (-8x^{-1})' = -8 \cdot (-1)x^{-2} = \frac{8}{x^2}$.

На отрезке $[\frac{1}{4}; 8]$ производная $y' = \frac{8}{x^2}$ всегда положительна ($y' > 0$). Следовательно, функция строго возрастает на этом отрезке.

Таким образом, наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Вычислим значения:
Наименьшее значение при $x = \frac{1}{4}$: $y_{наим} = y\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{8}{1/4} = -32$.
Наибольшее значение при $x = 8$: $y_{наиб} = y(8) = -\frac{8}{8} = -1$.

Ответ: наименьшее значение функции -32, наибольшее значение -1.

в) $y = -0.5x + 4$ на отрезке $[-2; 6]$.

Это линейная функция с угловым коэффициентом $k=-0.5$. Так как $k < 0$, функция строго убывает на всей своей области определения, включая отрезок $[-2; 6]$.

Для убывающей функции на отрезке ее наибольшее значение достигается на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.

Найдем значения функции на концах отрезка:
Наибольшее значение при $x = -2$: $y_{наиб} = y(-2) = -0.5 \cdot (-2) + 4 = 1 + 4 = 5$.
Наименьшее значение при $x = 6$: $y_{наим} = y(6) = -0.5 \cdot 6 + 4 = -3 + 4 = 1$.

Ответ: наименьшее значение функции 1, наибольшее значение 5.

г) $y = \frac{3}{x}$ на отрезке $[0.3; 2]$.

Функция является обратной пропорциональностью и непрерывна на заданном отрезке, так как точка разрыва $x=0$ не принадлежит ему. Найдем производную для анализа монотонности:
$y' = \left(\frac{3}{x}\right)' = (3x^{-1})' = 3 \cdot (-1)x^{-2} = -\frac{3}{x^2}$.

На отрезке $[0.3; 2]$ производная $y' = -\frac{3}{x^2}$ всегда отрицательна ($y' < 0$). Следовательно, функция строго убывает на этом отрезке.

Таким образом, наибольшее значение достигается на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.

Вычислим значения:
Наибольшее значение при $x = 0.3$: $y_{наиб} = y(0.3) = \frac{3}{0.3} = 10$.
Наименьшее значение при $x = 2$: $y_{наим} = y(2) = \frac{3}{2} = 1.5$.

Ответ: наименьшее значение функции 1.5, наибольшее значение 10.