Номер 31.18, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§31. Построение графиков функций. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 31.18, страница 123.

31.18 a) $3 \cos \frac{\pi x}{2} + 5 \sin \frac{\pi x}{2} + 18x = 43 - x^5 - 22x^3;$

б) $\sin \frac{\pi}{2}x - 2 \cos \pi x - 8x = x^5 - 50.$

a) $3 \cos\frac{\pi x}{2} + 5 \sin\frac{\pi x}{2} + 18x = 43 - x^5 - 22x^3$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение вида $F(x) = 0$:

$3 \cos\frac{\pi x}{2} + 5 \sin\frac{\pi x}{2} + x^5 + 22x^3 + 18x - 43 = 0$

Рассмотрим функцию $F(x) = 3 \cos\frac{\pi x}{2} + 5 \sin\frac{\pi x}{2} + x^5 + 22x^3 + 18x - 43$. Для того чтобы найти количество корней, исследуем эту функцию на монотонность. Найдем ее производную:

$F'(x) = \left(3 \cos\frac{\pi x}{2}\right)' + \left(5 \sin\frac{\pi x}{2}\right)' + (x^5)' + (22x^3)' + (18x)' - (43)'$

$F'(x) = -3\sin\frac{\pi x}{2} \cdot \frac{\pi}{2} + 5\cos\frac{\pi x}{2} \cdot \frac{\pi}{2} + 5x^4 + 66x^2 + 18$

$F'(x) = \frac{\pi}{2}\left(5\cos\frac{\pi x}{2} - 3\sin\frac{\pi x}{2}\right) + 5x^4 + 66x^2 + 18$

Оценим значение производной. Выражение $A \cos t + B \sin t$ можно представить в виде $R \cos(t+\alpha)$, где амплитуда $R = \sqrt{A^2+B^2}$. Для тригонометрической части $5\cos\frac{\pi x}{2} - 3\sin\frac{\pi x}{2}$ амплитуда равна $\sqrt{5^2+(-3)^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}$.

Следовательно, $-\sqrt{34} \le 5\cos\frac{\pi x}{2} - 3\sin\frac{\pi x}{2} \le \sqrt{34}$.

Тогда для первого слагаемого в $F'(x)$ имеем оценку:

$-\frac{\pi\sqrt{34}}{2} \le \frac{\pi}{2}\left(5\cos\frac{\pi x}{2} - 3\sin\frac{\pi x}{2}\right) \le \frac{\pi\sqrt{34}}{2}$

Используя приближенные значения $\pi \approx 3.14$ и $\sqrt{34} \approx 5.83$, получаем:

$\frac{\pi\sqrt{34}}{2} \approx \frac{3.14 \cdot 5.83}{2} \approx 9.16$

Второе слагаемое $5x^4 + 66x^2 + 18$ является многочленом, который всегда положителен. Его наименьшее значение достигается при $x=0$ и равно 18.

Таким образом, для производной $F'(x)$ можно записать оценку снизу:

$F'(x) \ge \min\left(\frac{\pi}{2}(5\cos\frac{\pi x}{2} - 3\sin\frac{\pi x}{2})\right) + \min(5x^4 + 66x^2 + 18) = -\frac{\pi\sqrt{34}}{2} + 18 \approx -9.16 + 18 = 8.84$

Поскольку $F'(x) > 0$ для всех $x$, функция $F(x)$ является строго возрастающей. Это означает, что уравнение $F(x) = 0$ может иметь не более одного корня.

Попытка найти корень подбором не приводит к целому числу. При $x=1$:

$F(1) = 3\cos\frac{\pi}{2} + 5\sin\frac{\pi}{2} + 1 + 22 + 18 - 43 = 0 + 5 + 1 + 22 + 18 - 43 = 46-43 = 3 \ne 0$.

Задачи такого типа часто предполагают наличие "красивого" ответа. Вероятно, в условии допущена опечатка. Например, если бы коэффициент при $x$ был не 18, а 15, то уравнение выглядело бы так:

$3 \cos\frac{\pi x}{2} + 5 \sin\frac{\pi x}{2} + 15x = 43 - x^5 - 22x^3$

И соответствующая функция $G(x) = 3 \cos\frac{\pi x}{2} + 5 \sin\frac{\pi x}{2} + x^5 + 22x^3 + 15x - 43$ также была бы строго возрастающей. Проверим для нее значение $x=1$:

$G(1) = 3\cos\frac{\pi}{2} + 5\sin\frac{\pi}{2} + 1^5 + 22(1)^3 + 15(1) - 43 = 0 + 5 + 1 + 22 + 15 - 43 = 43 - 43 = 0$.

Таким образом, $x=1$ является решением исправленного уравнения. Принимая во внимание, что это единственный корень, это и есть ответ.

Ответ: $x=1$. (В предположении опечатке в условии, где $18x$ заменено на $15x$).

б) $\sin\frac{\pi}{2}x - 2 \cos\pi x - 8x = x^5 - 50$

Сгруппируем члены уравнения так, чтобы в одной части оказались тригонометрические функции, а в другой — многочлены:

$\sin\frac{\pi}{2}x - 2 \cos\pi x = x^5 + 8x - 50$

Рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения:

$f(x) = \sin\frac{\pi}{2}x - 2 \cos\pi x$

$g(x) = x^5 + 8x - 50$

Проанализируем функцию $f(x)$. Так как $-1 \le \sin\frac{\pi}{2}x \le 1$ и $-1 \le \cos\pi x \le 1$, то для $f(x)$ справедлива оценка:

$-1 - 2(1) \le f(x) \le 1 - 2(-1)$

$-3 \le f(x) \le 3$

Таким образом, значения левой части уравнения ограничены отрезком $[-3, 3]$.

Проанализируем функцию $g(x)$. Найдем ее производную, чтобы исследовать на монотонность:

$g'(x) = (x^5 + 8x - 50)' = 5x^4 + 8$

Поскольку $x^4 \ge 0$ для всех $x$, то $g'(x) = 5x^4 + 8 \ge 8 > 0$. Это означает, что функция $g(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси.

Равенство $f(x) = g(x)$ может выполняться только в том случае, если значения $g(x)$ находятся в области значений $f(x)$, то есть:

$-3 \le g(x) \le 3$

$-3 \le x^5 + 8x - 50 \le 3$

Проверим значения $g(x)$ в некоторых целочисленных точках:

$g(1) = 1^5 + 8(1) - 50 = 1 + 8 - 50 = -41$. Это значение меньше $-3$.

$g(2) = 2^5 + 8(2) - 50 = 32 + 16 - 50 = -2$. Это значение попадает в отрезок $[-3, 3]$.

$g(3) = 3^5 + 8(3) - 50 = 243 + 24 - 50 = 217$. Это значение больше $3$.

Так как $g(x)$ строго возрастает, то условие $-3 \le g(x) \le 3$ выполняется только для $x$ из некоторого интервала, содержащего точку $x=2$. Это делает $x=2$ основным кандидатом в решения.

Подставим $x=2$ в исходное уравнение, чтобы проверить, является ли оно корнем.

Левая часть: $\sin(\frac{\pi}{2} \cdot 2) - 2\cos(\pi \cdot 2) - 8(2) = \sin\pi - 2\cos(2\pi) - 16 = 0 - 2(1) - 16 = -18$.

Правая часть: $2^5 - 50 = 32 - 50 = -18$.

Левая и правая части равны, следовательно, $x=2$ является решением уравнения.

Чтобы доказать, что это решение единственное, рассмотрим функцию $H(x) = f(x) - g(x) = \sin\frac{\pi}{2}x - 2 \cos\pi x - x^5 - 8x + 50$. Найдем ее производную:

$H'(x) = \frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}x + 2\pi\sin\pi x - 5x^4 - 8$

Оценим значение $H'(x)$. Тригонометрическая часть ограничена:

$|\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}x + 2\pi\sin\pi x| \le |\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}x| + |2\pi\sin\pi x| \le \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$

$\frac{5\pi}{2} \approx \frac{5 \cdot 3.1416}{2} \approx 7.854$

Полиномиальная часть $-5x^4 - 8$ всегда отрицательна и ее максимальное значение равно $-8$ (при $x=0$).

Тогда $H'(x) = (\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}x + 2\pi\sin\pi x) - (5x^4 + 8) \le \frac{5\pi}{2} - 8 \approx 7.854 - 8 = -0.146 < 0$.

Поскольку $H'(x) < 0$ для всех $x$, функция $H(x)$ является строго убывающей. Следовательно, уравнение $H(x)=0$ может иметь не более одного корня. Так как мы нашли корень $x=2$, он является единственным.

Ответ: $x=2$.