Номер 31.12, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§31. Построение графиков функций. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 31.12, страница 122.

31.12 a) $y = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4}$

б) $y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$

а)

Для нахождения множества значений функции $y = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4}$ выразим переменную $x$ через $y$. Область определения функции: $x^2 - 4 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 2$.

Преобразуем исходное уравнение:

$y(x^2 - 4) = x^2 + 4$

$yx^2 - 4y = x^2 + 4$

Сгруппируем члены, содержащие $x^2$:

$yx^2 - x^2 = 4y + 4$

$x^2(y - 1) = 4(y + 1)$

Если предположить, что $y=1$, то уравнение примет вид $x^2(1 - 1) = 4(1 + 1)$, что равносильно $0 = 8$. Это неверное равенство, следовательно, $y \neq 1$.

Теперь мы можем разделить обе части на $y - 1$:

$x^2 = \frac{4(y + 1)}{y - 1}$

Так как левая часть уравнения, $x^2$, не может быть отрицательной, то и правая часть должна быть неотрицательной:

$\frac{4(y + 1)}{y - 1} \ge 0$

Поскольку $4 > 0$, неравенство эквивалентно следующему:

$\frac{y + 1}{y - 1} \ge 0$

Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $y = -1$ и $y = 1$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Проверим знак выражения в каждом интервале:
- в интервале $(1; +\infty)$, например при $y=2$, получаем $\frac{2+1}{2-1} = 3 > 0$;
- в интервале $(-1; 1)$, например при $y=0$, получаем $\frac{0+1}{0-1} = -1 < 0$;
- в интервале $(-\infty; -1)$, например при $y=-2$, получаем $\frac{-2+1}{-2-1} = \frac{1}{3} > 0$.

Неравенство $\ge 0$ выполняется на интервалах $(-\infty; -1]$ и $(1; +\infty)$. Точка $y = -1$ (корень числителя) включается в решение, так как неравенство нестрогое. Точка $y = 1$ (корень знаменателя) исключается.

Таким образом, множество значений функции (обозначается $E(y)$) есть объединение этих промежутков.

Ответ: $E(y) = (-\infty; -1] \cup (1; +\infty)$.

б)

Для нахождения множества значений функции $y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$ поступим аналогично. Область определения функции: $x^2 - 1 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 1$.

Выразим $x$ через $y$ из уравнения функции:

$y(x^2 - 1) = x^2 + 1$

$yx^2 - y = x^2 + 1$

$yx^2 - x^2 = y + 1$

$x^2(y - 1) = y + 1$

При $y=1$ получаем неверное равенство $0=2$, значит, $y \neq 1$. Разделим на $(y-1)$:

$x^2 = \frac{y + 1}{y - 1}$

Для существования действительного решения $x$, необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной:

$\frac{y + 1}{y - 1} \ge 0$

Это неравенство совпадает с неравенством из предыдущего пункта. Его решение нам уже известно: $y \in (-\infty; -1] \cup (1; +\infty)$.

Это и есть множество значений данной функции.

Ответ: $E(y) = (-\infty; -1] \cup (1; +\infty)$.