Номер 31.6, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§31. Построение графиков функций. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 31.6, страница 122.

31.6 a) $y = 2x^3 + x^2 - 8x - 7;$

Б) $y = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x - \frac{11}{3};$

В) $y = x^3 + x^2 - x - 1;$

Г) $y = \frac{x^3}{3} + x^2 - 3x + \frac{5}{3}.$

а) $y = 2x^3 + x^2 - 8x - 7$

Для исследования функции на монотонность и экстремумы найдем ее производную.

$y' = (2x^3 + x^2 - 8x - 7)' = 6x^2 + 2x - 8$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$6x^2 + 2x - 8 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$3x^2 + x - 4 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.

$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 7}{6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}$.

$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 7}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Критические точки $x = -4/3$ и $x = 1$ разбивают числовую ось на три интервала. Определим знак производной на каждом из них. График производной $y' = 6x^2 + 2x - 8$ — парабола с ветвями вверх.

• При $x \in (-\infty, -4/3)$, $y' > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-4/3, 1)$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $x \in (1, +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

В точке $x = -4/3$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума. $x_{max} = -4/3$.

В точке $x = 1$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума. $x_{min} = 1$.

Найдем значения функции в точках экстремума:

$y_{max} = y(-\frac{4}{3}) = 2(-\frac{4}{3})^3 + (-\frac{4}{3})^2 - 8(-\frac{4}{3}) - 7 = 2(-\frac{64}{27}) + \frac{16}{9} + \frac{32}{3} - 7 = \frac{-128 + 48 + 288 - 189}{27} = \frac{19}{27}$.

$y_{min} = y(1) = 2(1)^3 + 1^2 - 8(1) - 7 = 2 + 1 - 8 - 7 = -12$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -4/3]$ и $[1, +\infty)$, убывает на промежутке $[-4/3, 1]$; точка максимума $x_{max} = -4/3$, значение в максимуме $y_{max} = 19/27$; точка минимума $x_{min} = 1$, значение в минимуме $y_{min} = -12$.

б) $y = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x - \frac{11}{3}$

Найдем производную функции:

$y' = (-\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x - \frac{11}{3})' = -x^2 + 2x + 3$.

Найдем критические точки из уравнения $y' = 0$:

$-x^2 + 2x + 3 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = -1$.

Определим знаки производной. График $y' = -x^2 + 2x + 3$ — парабола с ветвями вниз.

• При $x \in (-\infty, -1)$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $x \in (-1, 3)$, $y' > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (3, +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.

В точке $x = -1$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума. $x_{min} = -1$.

В точке $x = 3$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума. $x_{max} = 3$.

Найдем значения функции в точках экстремума:

$y_{min} = y(-1) = -\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3(-1) - \frac{11}{3} = \frac{1}{3} + 1 - 3 - \frac{11}{3} = \frac{1 - 11}{3} - 2 = -\frac{10}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{16}{3}$.

$y_{max} = y(3) = -\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3(3) - \frac{11}{3} = -9 + 9 + 9 - \frac{11}{3} = 9 - \frac{11}{3} = \frac{27 - 11}{3} = \frac{16}{3}$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1, 3]$, убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[3, +\infty)$; точка минимума $x_{min} = -1$, значение в минимуме $y_{min} = -16/3$; точка максимума $x_{max} = 3$, значение в максимуме $y_{max} = 16/3$.

в) $y = x^3 + x^2 - x - 1$

Найдем производную функции:

$y' = (x^3 + x^2 - x - 1)' = 3x^2 + 2x - 1$.

Найдем критические точки из уравнения $y' = 0$:

$3x^2 + 2x - 1 = 0$

$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2$.

$x_1 = \frac{-2 - 4}{6} = -1$.

$x_2 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Определим знаки производной. График $y' = 3x^2 + 2x - 1$ — парабола с ветвями вверх.

• При $x \in (-\infty, -1)$, $y' > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-1, 1/3)$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $x \in (1/3, +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка максимума. $x_{max} = -1$.

В точке $x = 1/3$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка минимума. $x_{min} = 1/3$.

Найдем значения функции в точках экстремума:

$y_{max} = y(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 - (-1) - 1 = -1 + 1 + 1 - 1 = 0$.

$y_{min} = y(\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3})^3 + (\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} - 1 = \frac{1}{27} + \frac{1}{9} - \frac{1}{3} - 1 = \frac{1 + 3 - 9 - 27}{27} = -\frac{32}{27}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1/3, +\infty)$, убывает на промежутке $[-1, 1/3]$; точка максимума $x_{max} = -1$, значение в максимуме $y_{max} = 0$; точка минимума $x_{min} = 1/3$, значение в минимуме $y_{min} = -32/27$.

г) $y = \frac{x^3}{3} + x^2 - 3x + \frac{5}{3}$

Найдем производную функции:

$y' = (\frac{x^3}{3} + x^2 - 3x + \frac{5}{3})' = x^2 + 2x - 3$.

Найдем критические точки из уравнения $y' = 0$:

$x^2 + 2x - 3 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.

Определим знаки производной. График $y' = x^2 + 2x - 3$ — парабола с ветвями вверх.

• При $x \in (-\infty, -3)$, $y' > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-3, 1)$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $x \in (1, +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

В точке $x = -3$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка максимума. $x_{max} = -3$.

В точке $x = 1$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка минимума. $x_{min} = 1$.

Найдем значения функции в точках экстремума:

$y_{max} = y(-3) = \frac{(-3)^3}{3} + (-3)^2 - 3(-3) + \frac{5}{3} = -9 + 9 + 9 + \frac{5}{3} = 9 + \frac{5}{3} = \frac{27+5}{3} = \frac{32}{3}$.

$y_{min} = y(1) = \frac{1^3}{3} + 1^2 - 3(1) + \frac{5}{3} = \frac{1}{3} + 1 - 3 + \frac{5}{3} = \frac{6}{3} - 2 = 2 - 2 = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -3]$ и $[1, +\infty)$, убывает на промежутке $[-3, 1]$; точка максимума $x_{max} = -3$, значение в максимуме $y_{max} = 32/3$; точка минимума $x_{min} = 1$, значение в минимуме $y_{min} = 0$.