Номер 31.7, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§31. Построение графиков функций. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 31.7, страница 122.

31.7 Постройте график функции:

а) $y = -x^4 + 5x^2 - 4;$

б) $y = x^5 - 5x;$

В) $y = 2x^4 - 9x^2 + 7;$

Г) $y = 5x^3 - 3x^5.$

а) $y = -x^4 + 5x^2 - 4$

Для построения графика проведем полное исследование функции.

1. Область определения.

   Функция является многочленом, поэтому область ее определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

   Проверим функцию на четность: $y(-x) = -(-x)^4 + 5(-x)^2 - 4 = -x^4 + 5x^2 - 4 = y(x)$.

   Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

3. Точки пересечения с осями координат.

   Пересечение с осью Oy: при $x=0$ имеем $y = -0^4 + 5 \cdot 0^2 - 4 = -4$. Точка пересечения $(0, -4)$.

   Пересечение с осью Ox: при $y=0$ имеем $-x^4 + 5x^2 - 4 = 0$. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

   $-t^2 + 5t - 4 = 0$ или $t^2 - 5t + 4 = 0$.

   По теореме Виета, корни уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

   Возвращаемся к замене:

   $x^2 = 1 \implies x_1 = -1, x_2 = 1$.

   $x^2 = 4 \implies x_3 = -2, x_4 = 2$.

   Точки пересечения с осью Ox: $(-2, 0)$, $(-1, 0)$, $(1, 0)$, $(2, 0)$.

4. Промежутки монотонности и точки экстремума.

   Найдем первую производную функции: $y' = (-x^4 + 5x^2 - 4)' = -4x^3 + 10x$.

   Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $y' = 0 \implies -4x^3 + 10x = 0 \implies -2x(2x^2 - 5) = 0$.

   Отсюда $x=0$ или $2x^2 - 5 = 0 \implies x^2 = 5/2 \implies x = \pm \sqrt{5/2} \approx \pm 1.58$.

   Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось: $(-\infty; -\sqrt{5/2})$, $(-\sqrt{5/2}; 0)$, $(0; \sqrt{5/2})$, $(\sqrt{5/2}; +\infty)$.

   • При $x \in (-\infty; -\sqrt{5/2})$, $y' > 0$, функция возрастает.
   • При $x \in (-\sqrt{5/2}; 0)$, $y' < 0$, функция убывает.
   • При $x \in (0; \sqrt{5/2})$, $y' > 0$, функция возрастает.
   • При $x \in (\sqrt{5/2}; +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.

   Точка $x = -\sqrt{5/2}$ — точка локального максимума. $y(-\sqrt{5/2}) = -(-\sqrt{5/2})^4 + 5(-\sqrt{5/2})^2 - 4 = -25/4 + 25/2 - 4 = 9/4 = 2.25$.

   Точка $x = 0$ — точка локального минимума. $y(0) = -4$.

   Точка $x = \sqrt{5/2}$ — точка локального максимума. $y(\sqrt{5/2}) = 9/4 = 2.25$.

5. Промежутки выпуклости и точки перегиба.

   Найдем вторую производную: $y'' = (-4x^3 + 10x)' = -12x^2 + 10$.

   Приравняем вторую производную к нулю: $y'' = 0 \implies -12x^2 + 10 = 0 \implies x^2 = 10/12 = 5/6 \implies x = \pm \sqrt{5/6} \approx \pm 0.91$.

   Исследуем знак второй производной:

   • При $x \in (-\infty; -\sqrt{5/6})$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх (вогнутый).
   • При $x \in (-\sqrt{5/6}; \sqrt{5/6})$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз (выпуклый).
   • При $x \in (\sqrt{5/6}; +\infty)$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх (вогнутый).

   Точки $x = \pm \sqrt{5/6}$ являются точками перегиба.

   $y(\pm \sqrt{5/6}) = -(\pm \sqrt{5/6})^4 + 5(\pm \sqrt{5/6})^2 - 4 = -25/36 + 25/6 - 4 = (-25 + 150 - 144)/36 = -19/36 \approx -0.53$.

График функции имеет форму перевернутой буквы W, симметричен относительно оси Oy. Он убывает от $+\infty$ до локального минимума в точке $(0, -4)$, а затем возрастает до локальных максимумов в точках $(\pm \sqrt{5/2}, 9/4)$, после чего снова убывает к $-\infty$.

Ответ: График функции — кривая, симметричная относительно оси Oy. Точки пересечения с осью Ox: $(\pm 1, 0)$, $(\pm 2, 0)$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, -4)$, которая также является точкой локального минимума. Точки локального максимума: $(-\sqrt{5/2}, 9/4)$ и $(\sqrt{5/2}, 9/4)$. Точки перегиба: $(-\sqrt{5/6}, -19/36)$ и $(\sqrt{5/6}, -19/36)$. При $x \to \pm \infty$, $y \to -\infty$.

б) $y = x^5 - 5x$

Для построения графика проведем полное исследование функции.

1. Область определения.

   Функция является многочленом, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

   $y(-x) = (-x)^5 - 5(-x) = -x^5 + 5x = -(x^5 - 5x) = -y(x)$.

   Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат $(0, 0)$.

3. Точки пересечения с осями координат.

   Пересечение с осью Oy: при $x=0$ имеем $y=0$. Точка $(0, 0)$.

   Пересечение с осью Ox: при $y=0$ имеем $x^5 - 5x = 0 \implies x(x^4 - 5) = 0$.

   Корни: $x=0$ или $x^4=5 \implies x = \pm \sqrt[4]{5} \approx \pm 1.5$.

   Точки пересечения: $(-\sqrt[4]{5}, 0)$, $(0, 0)$, $(\sqrt[4]{5}, 0)$.

4. Промежутки монотонности и точки экстремума.

   $y' = (x^5 - 5x)' = 5x^4 - 5 = 5(x^4 - 1) = 5(x^2 - 1)(x^2 + 1) = 5(x-1)(x+1)(x^2+1)$.

   $y' = 0 \implies x = \pm 1$. Критические точки: $x=-1, x=1$.

   • При $x \in (-\infty; -1)$, $y' > 0$, функция возрастает.
   • При $x \in (-1; 1)$, $y' < 0$, функция убывает.
   • При $x \in (1; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

   $x = -1$ — точка локального максимума. $y(-1) = (-1)^5 - 5(-1) = -1 + 5 = 4$.

   $x = 1$ — точка локального минимума. $y(1) = 1^5 - 5(1) = 1 - 5 = -4$.

5. Промежутки выпуклости и точки перегиба.

   $y'' = (5x^4 - 5)' = 20x^3$.

   $y'' = 0 \implies x = 0$.

   • При $x < 0$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх (вогнутый).
   • При $x > 0$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз (выпуклый).

   $x = 0$ — точка перегиба. $y(0) = 0$.

График функции симметричен относительно начала координат. Он возрастает из $-\infty$ до локального максимума в точке $(-1, 4)$, затем убывает, проходя через точку перегиба $(0, 0)$, до локального минимума в точке $(1, -4)$, после чего снова возрастает к $+\infty$.

Ответ: График функции — кривая, симметричная относительно начала координат. Точки пересечения с осями: $(-\sqrt[4]{5}, 0)$, $(0, 0)$ и $(\sqrt[4]{5}, 0)$. Точка локального максимума: $(-1, 4)$. Точка локального минимума: $(1, -4)$. Точка перегиба: $(0, 0)$. При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$; при $x \to -\infty$, $y \to -\infty$.

в) $y = 2x^4 - 9x^2 + 7$

Для построения графика проведем полное исследование функции.

1. Область определения.

   Функция является многочленом, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

   $y(-x) = 2(-x)^4 - 9(-x)^2 + 7 = 2x^4 - 9x^2 + 7 = y(x)$.

   Функция четная, график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат.

   Пересечение с осью Oy: при $x=0$, $y = 7$. Точка $(0, 7)$.

   Пересечение с осью Ox: при $y=0$, $2x^4 - 9x^2 + 7 = 0$. Замена $t=x^2$ ($t \ge 0$).

   $2t^2 - 9t + 7 = 0$. Дискриминант $D = 81 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 25$.

   $t = \frac{9 \pm 5}{4}$, откуда $t_1 = 14/4 = 7/2$ и $t_2 = 4/4 = 1$.

   $x^2 = 7/2 \implies x = \pm \sqrt{7/2} \approx \pm 1.87$.

   $x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.

   Точки пересечения с Ox: $(\pm 1, 0)$, $(\pm \sqrt{7/2}, 0)$.

4. Промежутки монотонности и точки экстремума.

   $y' = 8x^3 - 18x = 2x(4x^2 - 9)$.

   $y' = 0 \implies x=0$ или $x^2 = 9/4 \implies x = \pm 3/2 = \pm 1.5$. Критические точки: $x=-3/2, 0, 3/2$.

   • При $x \in (-\infty; -3/2)$, $y' < 0$, функция убывает.
   • При $x \in (-3/2; 0)$, $y' > 0$, функция возрастает.
   • При $x \in (0; 3/2)$, $y' < 0$, функция убывает.
   • При $x \in (3/2; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

   $x = \pm 3/2$ — точки локального минимума. $y(\pm 3/2) = 2(81/16) - 9(9/4) + 7 = 81/8 - 81/4 + 7 = -25/8 = -3.125$.

   $x = 0$ — точка локального максимума. $y(0) = 7$.

5. Промежутки выпуклости и точки перегиба.

   $y'' = 24x^2 - 18 = 6(4x^2 - 3)$.

   $y'' = 0 \implies x^2 = 3/4 \implies x = \pm \sqrt{3}/2 \approx \pm 0.87$.

   • При $x \in (-\infty; -\sqrt{3}/2)$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
   • При $x \in (-\sqrt{3}/2; \sqrt{3}/2)$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
   • При $x \in (\sqrt{3}/2; +\infty)$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз.

   $x = \pm \sqrt{3}/2$ — точки перегиба. $y(\pm \sqrt{3}/2) = 2(9/16) - 9(3/4) + 7 = 9/8 - 27/4 + 7 = 11/8 = 1.375$.

График функции имеет W-образную форму, симметричен относительно оси Oy. Он убывает из $+\infty$ до локального минимума в точке $(-3/2, -25/8)$, затем возрастает до локального максимума в $(0, 7)$, снова убывает до минимума в $(3/2, -25/8)$, и затем возрастает к $+\infty$.

Ответ: График функции — симметричная относительно оси Oy W-образная кривая. Точки пересечения с осью Ox: $(\pm 1, 0)$, $(\pm \sqrt{7/2}, 0)$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, 7)$, которая также является точкой локального максимума. Точки локального минимума: $(\pm 3/2, -25/8)$. Точки перегиба: $(\pm \sqrt{3}/2, 11/8)$. При $x \to \pm \infty$, $y \to +\infty$.

г) $y = 5x^3 - 3x^5$

Для построения графика проведем полное исследование функции.

1. Область определения.

   Функция является многочленом, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

   $y(-x) = 5(-x)^3 - 3(-x)^5 = -5x^3 + 3x^5 = -(5x^3 - 3x^5) = -y(x)$.

   Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.

   Пересечение с осью Oy: при $x=0$, $y=0$. Точка $(0, 0)$.

   Пересечение с осью Ox: при $y=0$, $5x^3 - 3x^5 = 0 \implies x^3(5 - 3x^2) = 0$.

   Корни: $x=0$ или $5 - 3x^2 = 0 \implies x^2 = 5/3 \implies x = \pm \sqrt{5/3} \approx \pm 1.29$.

   Точки пересечения: $(-\sqrt{5/3}, 0)$, $(0, 0)$, $(\sqrt{5/3}, 0)$.

4. Промежутки монотонности и точки экстремума.

   $y' = 15x^2 - 15x^4 = 15x^2(1 - x^2) = 15x^2(1-x)(1+x)$.

   $y' = 0 \implies x=0$ или $x = \pm 1$. Критические точки: $x=-1, 0, 1$.

   • При $x \in (-\infty; -1)$, $y' < 0$, функция убывает.
   • При $x \in (-1; 1)$, $y' > 0$ (кроме $x=0$), функция возрастает.
   • При $x \in (1; +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.

   $x = -1$ — точка локального минимума. $y(-1) = 5(-1)^3 - 3(-1)^5 = -5 + 3 = -2$.

   $x = 1$ — точка локального максимума. $y(1) = 5(1)^3 - 3(1)^5 = 5 - 3 = 2$.

   В точке $x=0$ производная равна нулю, но знак производной не меняется, значит, это не экстремум, а точка перегиба с горизонтальной касательной.

5. Промежутки выпуклости и точки перегиба.

   $y'' = 30x - 60x^3 = 30x(1 - 2x^2)$.

   $y'' = 0 \implies x=0$ или $1-2x^2=0 \implies x^2 = 1/2 \implies x = \pm 1/\sqrt{2} \approx \pm 0.71$.

   • При $x \in (-\infty; -1/\sqrt{2})$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
   • При $x \in (-1/\sqrt{2}; 0)$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
   • При $x \in (0; 1/\sqrt{2})$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
   • При $x \in (1/\sqrt{2}; +\infty)$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх.

   Точки перегиба: $x=0, x=\pm 1/\sqrt{2}$.

   $y(0)=0$.

   $y(\pm 1/\sqrt{2}) = 5(\pm 1/(2\sqrt{2})) - 3(\pm 1/(4\sqrt{2})) = \pm (10-3)/(4\sqrt{2}) = \pm 7/(4\sqrt{2}) = \pm 7\sqrt{2}/8 \approx \pm 1.24$.

График функции симметричен относительно начала координат. Он убывает от $+\infty$ до локального минимума в $(-1, -2)$, затем возрастает, проходя через точки перегиба $(-1/\sqrt{2}, -7\sqrt{2}/8)$, $(0,0)$ и $(1/\sqrt{2}, 7\sqrt{2}/8)$, достигает локального максимума в $(1, 2)$ и затем убывает к $-\infty$.

Ответ: График функции — кривая, симметричная относительно начала координат. Точки пересечения с осями: $(-\sqrt{5/3}, 0)$, $(0, 0)$, $(\sqrt{5/3}, 0)$. Точка локального минимума: $(-1, -2)$. Точка локального максимума: $(1, 2)$. Точки перегиба: $(-1/\sqrt{2}, -7\sqrt{2}/8)$, $(0, 0)$ и $(1/\sqrt{2}, 7\sqrt{2}/8)$. При $x \to +\infty$, $y \to -\infty$; при $x \to -\infty$, $y \to +\infty$.