Номер 31.9, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§31. Построение графиков функций. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 31.9, страница 122.

31.9 а) $y = \frac{x+2}{x-3};$

б) $y = \frac{3x-4}{x-2};$

В) $y = \frac{x-3}{x+1};$

Г) $y = \frac{2x+1}{x+2}.$

а)

Дана функция $y = \frac{x+2}{x-3}$. Это дробно-линейная функция, график которой — гипербола. Чтобы проанализировать функцию и определить ее свойства, приведем ее к виду $y = \frac{k}{x-x_0} + y_0$. Для этого выделим целую часть из дроби.

Представим числитель $x+2$ через знаменатель $x-3$:

$x+2 = (x-3) + 3 + 2 = (x-3) + 5$

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение функции:

$y = \frac{(x-3) + 5}{x-3} = \frac{x-3}{x-3} + \frac{5}{x-3} = 1 + \frac{5}{x-3}$

Таким образом, мы получили функцию в виде $y = \frac{5}{x-3} + 1$. График этой функции получается из графика $y = \frac{5}{x}$ путем сдвига на 3 единицы вправо и на 1 единицу вверх. Асимптотами графика являются прямые $x=3$ (вертикальная) и $y=1$ (горизонтальная).

Ответ: Функцию можно представить в виде $y = \frac{5}{x-3} + 1$. График — гипербола с асимптотами $x=3$ и $y=1$.

б)

Дана функция $y = \frac{3x-4}{x-2}$. Это также дробно-линейная функция. Выделим целую часть, чтобы привести ее к каноническому виду.

Представим числитель $3x-4$ через знаменатель $x-2$:

$3x-4 = 3x - 6 + 2 = 3(x-2) + 2$

Подставим в исходное уравнение:

$y = \frac{3(x-2) + 2}{x-2} = \frac{3(x-2)}{x-2} + \frac{2}{x-2} = 3 + \frac{2}{x-2}$

Функция приведена к виду $y = \frac{2}{x-2} + 3$. Ее график — это график функции $y = \frac{2}{x}$, сдвинутый на 2 единицы вправо и на 3 единицы вверх. Асимптоты: $x=2$ и $y=3$.

Ответ: Функцию можно представить в виде $y = \frac{2}{x-2} + 3$. График — гипербола с асимптотами $x=2$ и $y=3$.

в)

Дана функция $y = \frac{x-3}{x+1}$. Выделим целую часть дроби.

Представим числитель $x-3$ через знаменатель $x+1$:

$x-3 = (x+1) - 1 - 3 = (x+1) - 4$

Подставим в исходное уравнение:

$y = \frac{(x+1) - 4}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} - \frac{4}{x+1} = 1 - \frac{4}{x+1}$

Функция приведена к виду $y = \frac{-4}{x+1} + 1$. Ее график получается из графика $y = \frac{-4}{x}$ сдвигом на 1 единицу влево (т.к. $x+1=x-(-1)$) и на 1 единицу вверх. Асимптоты: $x=-1$ и $y=1$.

Ответ: Функцию можно представить в виде $y = \frac{-4}{x+1} + 1$. График — гипербола с асимптотами $x=-1$ и $y=1$.

г)

Дана функция $y = \frac{2x+1}{x+2}$. Выделим целую часть.

Представим числитель $2x+1$ через знаменатель $x+2$:

$2x+1 = 2x + 4 - 3 = 2(x+2) - 3$

Подставим в исходное уравнение:

$y = \frac{2(x+2) - 3}{x+2} = \frac{2(x+2)}{x+2} - \frac{3}{x+2} = 2 - \frac{3}{x+2}$

Функция приведена к виду $y = \frac{-3}{x+2} + 2$. Ее график — это график функции $y = \frac{-3}{x}$, сдвинутый на 2 единицы влево и на 2 единицы вверх. Асимптоты: $x=-2$ и $y=2$.

Ответ: Функцию можно представить в виде $y = \frac{-3}{x+2} + 2$. График — гипербола с асимптотами $x=-2$ и $y=2$.