Номер 31.15, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§31. Построение графиков функций. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 31.15, страница 123.

31.15 При каких значениях параметра a:

а) уравнение $x^3 - 3x = a$ имеет один корень;

б) уравнение $3x - x^3 = a$ имеет два корня?

Для решения данной задачи мы воспользуемся графическим методом. Количество корней уравнения вида $f(x) = a$ равно количеству точек пересечения графика функции $y = f(x)$ и горизонтальной прямой $y = a$.

а) уравнение $x^3 - 3x = a$ имеет один корень;

Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 - 3x$. Чтобы определить, при каких значениях $a$ уравнение $f(x)=a$ имеет один корень, нам нужно исследовать эту функцию на монотонность и экстремумы. Для этого найдем ее производную.

Производная функции:
$f'(x) = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$3x^2 - 3 = 0$
$3(x^2 - 1) = 0$
$x^2 = 1$
Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$.

• На интервале $(-\infty; -1)$ производная $f'(x) > 0$, значит, функция возрастает.
• На интервале $(-1; 1)$ производная $f'(x) < 0$, значит, функция убывает.
• На интервале $(1; +\infty)$ производная $f'(x) > 0$, значит, функция возрастает.

В точке $x = -1$ возрастание сменяется убыванием, следовательно, это точка локального максимума.
В точке $x = 1$ убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка локального минимума.

Найдем значения функции в этих точках экстремума:
Локальный максимум: $y_{max} = f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$.
Локальный минимум: $y_{min} = f(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$.

Теперь проанализируем количество пересечений графика $y = f(x)$ с прямой $y = a$:

• Если $a > y_{max}$ (т.е. $a > 2$), прямая $y=a$ пересекает график в одной точке.
• Если $a = y_{max}$ (т.е. $a = 2$), прямая касается графика в точке максимума и пересекает его еще в одной точке, итого два корня.
• Если $y_{min} < a < y_{max}$ (т.е. $-2 < a < 2$), прямая пересекает график в трех точках.
• Если $a = y_{min}$ (т.е. $a = -2$), прямая касается графика в точке минимума и пересекает его еще в одной точке, итого два корня.
• Если $a < y_{min}$ (т.е. $a < -2$), прямая пересекает график в одной точке.

Таким образом, уравнение имеет один корень, когда прямая $y=a$ проходит выше локального максимума или ниже локального минимума.
Это соответствует условиям $a > 2$ или $a < -2$.

Ответ: $a \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

б) уравнение $3x - x^3 = a$ имеет два корня?

Рассмотрим функцию $g(x) = 3x - x^3$. Задача состоит в том, чтобы найти значения $a$, при которых прямая $y=a$ пересекает график функции $y=g(x)$ ровно в двух точках.

Исследуем функцию $g(x)$ с помощью производной:
$g'(x) = (3x - x^3)' = 3 - 3x^2$.

Найдем критические точки:
$3 - 3x^2 = 0$
$3(1 - x^2) = 0$
$x^2 = 1$
Критические точки: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

Определим знаки производной на интервалах:

• На интервале $(-\infty; -1)$ производная $g'(x) < 0$, функция убывает.
• На интервале $(-1; 1)$ производная $g'(x) > 0$, функция возрастает.
• На интервале $(1; +\infty)$ производная $g'(x) < 0$, функция убывает.

Следовательно, $x=-1$ — точка локального минимума, а $x=1$ — точка локального максимума.

Найдем значения экстремумов:
Локальный минимум: $y_{min} = g(-1) = 3(-1) - (-1)^3 = -3 + 1 = -2$.
Локальный максимум: $y_{max} = g(1) = 3(1) - (1)^3 = 3 - 1 = 2$.

Уравнение будет иметь два корня, если прямая $y=a$ будет касаться графика функции в одной из точек экстремума. Это происходит, когда значение $a$ равно значению локального максимума или локального минимума.
$a = y_{max} = 2$ или $a = y_{min} = -2$.

Ответ: $a = -2, a = 2$.