Номер 31.19, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§31. Построение графиков функций. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 31.19, страница 123.

31.19 Решите графически уравнение:

a) $3\sqrt{x} + 1 = -x^3 + 3x^2 + 6;$

б) $x^3 - 3x = (x + 1)^6 + 2.$

а)

Для решения уравнения $3\sqrt{x+1} = -x^3 + 3x^2 + 6$ графическим методом, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = 3\sqrt{x+1}$ и $y = -x^3 + 3x^2 + 6$. Абсциссы точек пересечения этих графиков будут являться решениями исходного уравнения.

1. Анализ функции $y_1(x) = 3\sqrt{x+1}$

• Область определения функции: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x+1 \geq 0$, откуда $x \geq -1$. Таким образом, $D(y_1) = [-1; +\infty)$.

• Область значений функции: поскольку $\sqrt{x+1} \geq 0$, то $y_1 \geq 0$. $E(y_1) = [0; +\infty)$.

• Функция является возрастающей на всей области определения.

• Найдем несколько точек для построения графика:
  При $x = -1$, $y_1 = 3\sqrt{-1+1} = 0$. Точка $(-1, 0)$.
  При $x = 0$, $y_1 = 3\sqrt{0+1} = 3$. Точка $(0, 3)$.
  При $x = 3$, $y_1 = 3\sqrt{3+1} = 3\sqrt{4} = 6$. Точка $(3, 6)$.
  При $x = 8$, $y_1 = 3\sqrt{8+1} = 3\sqrt{9} = 9$. Точка $(8, 9)$.

2. Анализ функции $y_2(x) = -x^3 + 3x^2 + 6$

• Область определения функции: $D(y_2) = (-\infty; +\infty)$.

• Это кубическая парабола. Для исследования ее поведения найдем производную:
  $y_2'(x) = (-x^3 + 3x^2 + 6)' = -3x^2 + 6x = -3x(x-2)$.

• Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y_2'(x)=0$, $-3x(x-2)=0$. Отсюда $x=0$ и $x=2$.

• Определим промежутки монотонности:
  • при $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$, $y_2'(x) < 0$, функция убывает.
  • при $x \in (0; 2)$, $y_2'(x) > 0$, функция возрастает.

• Точка $x=0$ является точкой локального минимума: $y_2(0) = -0^3 + 3 \cdot 0^2 + 6 = 6$. Точка $(0, 6)$.

• Точка $x=2$ является точкой локального максимума: $y_2(2) = -2^3 + 3 \cdot 2^2 + 6 = -8 + 12 + 6 = 10$. Точка $(2, 10)$.

• Найдем значения в некоторых других точках, чтобы уточнить график:
  При $x = -1$, $y_2 = -(-1)^3 + 3(-1)^2 + 6 = 1 + 3 + 6 = 10$. Точка $(-1, 10)$.
  При $x = 3$, $y_2 = -3^3 + 3 \cdot 3^2 + 6 = -27 + 27 + 6 = 6$. Точка $(3, 6)$.

3. Построение графиков и нахождение решения

Нанесем ключевые точки на координатную плоскость и построим эскизы графиков. График $y_1 = 3\sqrt{x+1}$ начинается в точке $(-1, 0)$ и плавно возрастает, проходя через точки $(0, 3)$ и $(3, 6)$. График $y_2 = -x^3 + 3x^2 + 6$ проходит через точки $(-1, 10)$, имеет минимум в $(0, 6)$, максимум в $(2, 10)$ и проходит через точку $(3, 6)$.

Сравнивая найденные точки, мы видим, что оба графика проходят через точку $(3, 6)$. Это означает, что при $x=3$ значения функций равны: $y_1(3) = y_2(3) = 6$.

На промежутке $[-1; 3]$ функция $y_1(x)$ возрастает от $0$ до $6$. Функция $y_2(x)$ на этом же промежутке сначала убывает от $10$ до $6$ (на $[-1; 0]$), а затем возрастает от $6$ до $10$ (на $[0; 2]$) и снова убывает от $10$ до $6$ (на $[2; 3]$). На промежутке $(3; +\infty)$ функция $y_1(x)$ продолжает возрастать, а функция $y_2(x)$ — убывать. Следовательно, после точки $x=3$ графики разойдутся и больше не пересекутся. Таким образом, графики имеют только одну точку пересечения.

Абсцисса этой точки пересечения $x=3$ и является единственным решением уравнения.

Ответ: $3$.

б)

Для решения уравнения $x^3 - 3x = (x + 1)^6 + 2$ графическим методом, построим в одной системе координат графики функций $y = x^3 - 3x$ и $y = (x + 1)^6 + 2$.

1. Анализ функции $f(x) = x^3 - 3x$

• Это кубическая парабола. Область определения - все действительные числа.

• Найдем производную для определения экстремумов: $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$.

• Критические точки: $f'(x)=0$ при $x=1$ и $x=-1$.

• При $x < -1$ и $x > 1$ функция возрастает ($f'(x) > 0$).

• При $-1 < x < 1$ функция убывает ($f'(x) < 0$).

• $x = -1$ — точка локального максимума. Значение функции в этой точке: $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$. Точка максимума $(-1, 2)$.

• $x = 1$ — точка локального минимума. Значение функции в этой точке: $f(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$. Точка минимума $(1, -2)$.

2. Анализ функции $g(x) = (x + 1)^6 + 2$

• Область определения — все действительные числа.

• Выражение $(x+1)^6$ всегда неотрицательно, $(x+1)^6 \geq 0$. Его наименьшее значение равно $0$ и достигается при $x+1=0$, то есть при $x=-1$.

• Следовательно, наименьшее значение функции $g(x)$ равно $0+2=2$. Это значение достигается при $x=-1$.

• Таким образом, точка $(-1, 2)$ является точкой глобального минимума для функции $g(x)$.

• При $x < -1$ функция $g(x)$ убывает. При $x > -1$ функция $g(x)$ возрастает.

3. Сравнение функций и нахождение решения

Мы установили, что:

• Функция $f(x) = x^3 - 3x$ имеет локальный максимум в точке $(-1, 2)$. Это означает, что для любого $x \neq -1$ в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство $f(x) < f(-1) = 2$. Фактически, $f(x) \le 2$ для всех $x \le 2$ (так как $x^3-3x-2 = (x+1)^2(x-2)$), и $f(x)$ принимает значения больше 2 только при $x > 2$.

• Функция $g(x) = (x + 1)^6 + 2$ имеет глобальный минимум в точке $(-1, 2)$. Это означает, что для любого $x \neq -1$ выполняется неравенство $g(x) > g(-1) = 2$.

В точке $x=-1$ обе функции принимают одинаковое значение: $f(-1) = 2$ и $g(-1) = 2$. Значит, $x=-1$ является решением уравнения.

Для любого другого значения $x \neq -1$, мы имеем $g(x) > 2$. В то же время, $f(x)$ может быть равно 2 только в точке $x=-1$ и $x=2$. В точке $x=2$ значение $g(2) = (2+1)^6+2 = 3^6+2 = 729+2=731$, что очевидно не равно $f(2)=2$. Для всех остальных $x \neq -1$, $f(x) < g(x)$.

Следовательно, графики функций касаются друг друга в точке $(-1, 2)$, которая является точкой максимума для одного графика и точкой минимума для другого. Это единственная точка их пересечения.

Абсцисса этой точки $x=-1$ и является единственным решением уравнения.

Ответ: $-1$.