Номер 32.3, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.3, страница 124.

32.3 а) $y = \operatorname{tg} x$, $\left[-\frac{\pi}{3}; -\frac{\pi}{6}\right];$

В) $y = -2 \operatorname{tg} x$, $\left[0; \frac{\pi}{6}\right];$

б) $y = -3 \operatorname{tg} x$, $\left[\pi; \frac{4\pi}{3}\right];$

Г) $y = \frac{1}{2} \operatorname{tg} x$, $\left[-\pi; -\frac{3\pi}{4}\right].$

а)

Чтобы найти множество значений функции $y = \operatorname{tg} x$ на отрезке $[-\frac{\pi}{3}; -\frac{\pi}{6}]$, необходимо исследовать ее поведение на этом отрезке. Функция $y = k \cdot \operatorname{tg} x$ является возрастающей при $k>0$ и убывающей при $k<0$ на каждом интервале своей области определения. В данном случае $k=1$, следовательно, функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастает.

Отрезок $[-\frac{\pi}{3}; -\frac{\pi}{6}]$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, на котором функция $y = \operatorname{tg} x$ непрерывна и строго возрастает. Поэтому наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наименьшее значение: $y(-\frac{\pi}{3}) = \operatorname{tg}(-\frac{\pi}{3}) = -\operatorname{tg}(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.

Наибольшее значение: $y(-\frac{\pi}{6}) = \operatorname{tg}(-\frac{\pi}{6}) = -\operatorname{tg}(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Таким образом, множество значений функции на данном отрезке есть промежуток от наименьшего значения до наибольшего.

Ответ: $[-\sqrt{3}; -\frac{\sqrt{3}}{3}] $.

б)

Для функции $y = -3 \operatorname{tg} x$ на отрезке $[\pi; \frac{4\pi}{3}]$ коэффициент $k=-3 < 0$, следовательно, функция является убывающей на каждом интервале своей области определения.

Точки разрыва функции $y = \operatorname{tg} x$ — это $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Ближайшая точка разрыва, $x = \frac{3\pi}{2}$, не входит в отрезок $[\pi; \frac{4\pi}{3}]$. Значит, на этом отрезке функция непрерывна и строго убывает.

Для убывающей функции наибольшее значение достигается на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наибольшее значение: $y(\pi) = -3 \operatorname{tg}(\pi) = -3 \cdot 0 = 0$.

Наименьшее значение: $y(\frac{4\pi}{3}) = -3 \operatorname{tg}(\frac{4\pi}{3}) = -3 \operatorname{tg}(\pi + \frac{\pi}{3}) = -3 \operatorname{tg}(\frac{\pi}{3}) = -3\sqrt{3}$.

Множество значений функции — это промежуток от наименьшего значения до наибольшего.

Ответ: $[-3\sqrt{3}; 0]$.

в)

Для функции $y = -2 \operatorname{tg} x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{6}]$ коэффициент $k=-2 < 0$, поэтому функция является убывающей.

Отрезок $[0; \frac{\pi}{6}]$ принадлежит интервалу непрерывности $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, на котором функция строго убывает. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в левой точке отрезка, а наименьшее — в правой.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наибольшее значение: $y(0) = -2 \operatorname{tg}(0) = -2 \cdot 0 = 0$.

Наименьшее значение: $y(\frac{\pi}{6}) = -2 \operatorname{tg}(\frac{\pi}{6}) = -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Таким образом, множество значений функции на данном отрезке есть промежуток от наименьшего значения до наибольшего.

Ответ: $[-\frac{2\sqrt{3}}{3}; 0]$.

г)

Для функции $y = \frac{1}{2} \operatorname{tg} x$ на отрезке $[-\pi; -\frac{3\pi}{4}]$ коэффициент $k=\frac{1}{2} > 0$, значит, функция является возрастающей.

Проверим непрерывность. Точки разрыва $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Ближайшая точка разрыва $x = -\frac{\pi}{2}$ не принадлежит отрезку $[-\pi; -\frac{3\pi}{4}]$, так как $-\frac{\pi}{2} > -\frac{3\pi}{4}$. Следовательно, на данном отрезке функция непрерывна и строго возрастает.

Для возрастающей функции наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наименьшее значение: $y(-\pi) = \frac{1}{2} \operatorname{tg}(-\pi) = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$.

Наибольшее значение: $y(-\frac{3\pi}{4}) = \frac{1}{2} \operatorname{tg}(-\frac{3\pi}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (-\operatorname{tg}(\frac{3\pi}{4})) = \frac{1}{2} \cdot (-(-1)) = \frac{1}{2}$.

Множество значений функции — это промежуток от наименьшего значения до наибольшего.

Ответ: $[0; \frac{1}{2}]$.