Номер 32.4, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.4, страница 124.

32.4 a) $y = \sqrt{x}$, $[0; 9];$

б) $y = \sqrt{-x}$, $[-4; 0];$

в) $y = -\sqrt{x}$, $[4; 16];$

г) $y = -\sqrt{-x}$, $[-9; -4].$

а) Чтобы найти область значений функции $y = \sqrt{x}$ на отрезке $[0; 9]$, нужно определить ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке.

Функция $y = \sqrt{x}$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения ($x \ge 0$). Следовательно, на отрезке $[0; 9]$ она принимает свое наименьшее значение в левой границе отрезка, а наибольшее — в правой.

Найдем значения функции на концах отрезка:

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = \sqrt{0} = 0$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(9) = \sqrt{9} = 3$.

Таким образом, область значений функции на данном отрезке — это все числа от 0 до 3 включительно, то есть отрезок $[0; 3]$.

Ответ: $[0; 3]$.

б) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{-x}$ на отрезке $[-4; 0]$.

Область определения этой функции задается условием $-x \ge 0$, что эквивалентно $x \le 0$. Заданный отрезок $[-4; 0]$ входит в область определения.

Функция $y = \sqrt{-x}$ является монотонно убывающей на всей своей области определения. Это происходит потому, что с увеличением $x$ (например, от -4 до 0) подкоренное выражение $-x$ уменьшается (от 4 до 0), а значит, и значение корня уменьшается.

Следовательно, на отрезке $[-4; 0]$ функция принимает наибольшее значение в левой границе отрезка, а наименьшее — в правой.

Найдем значения функции на концах отрезка:

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-4) = \sqrt{-(-4)} = \sqrt{4} = 2$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = \sqrt{-0} = \sqrt{0} = 0$.

Таким образом, область значений функции на данном отрезке — это все числа от 0 до 2 включительно, то есть отрезок $[0; 2]$.

Ответ: $[0; 2]$.

в) Рассмотрим функцию $y = -\sqrt{x}$ на отрезке $[4; 16]$.

Функция $f(x) = \sqrt{x}$ является возрастающей. Так как перед корнем стоит знак минус, функция $y = -\sqrt{x}$ является монотонно убывающей на всей своей области определения ($x \ge 0$).

Следовательно, на отрезке $[4; 16]$ функция принимает наибольшее значение в левой границе отрезка, а наименьшее — в правой.

Найдем значения функции на концах отрезка:

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(4) = -\sqrt{4} = -2$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(16) = -\sqrt{16} = -4$.

Таким образом, область значений функции на данном отрезке — это все числа от -4 до -2 включительно, то есть отрезок $[-4; -2]$.

Ответ: $[-4; -2]$.

г) Рассмотрим функцию $y = -\sqrt{-x}$ на отрезке $[-9; -4]$.

Область определения этой функции: $x \le 0$. Заданный отрезок $[-9; -4]$ входит в область определения.

Функция $f(x) = \sqrt{-x}$ является убывающей (как показано в пункте б). Так как перед ней стоит знак минус, то функция $y = -\sqrt{-x}$ является монотонно возрастающей. То есть, с увеличением $x$ (от -9 до -4) значение функции также увеличивается (от -3 до -2).

Следовательно, на отрезке $[-9; -4]$ функция принимает наименьшее значение в левой границе отрезка, а наибольшее — в правой.

Найдем значения функции на концах отрезка:

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-9) = -\sqrt{-(-9)} = -\sqrt{9} = -3$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-4) = -\sqrt{-(-4)} = -\sqrt{4} = -2$.

Таким образом, область значений функции на данном отрезке — это все числа от -3 до -2 включительно, то есть отрезок $[-3; -2]$.

Ответ: $[-3; -2]$.