Номер 32.11, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.11, страница 124.

32.11 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = x^4 - 8x^3 + 10x^2 + 1$ на отрезке:

а) [-1; 2];

б) [1; 6];

в) [-2; 3];

г) [-1; 7].

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке используется следующий алгоритм:

1. Найти производную функции $y'(x)$.
2. Найти стационарные (критические) точки, решив уравнение $y'(x) = 0$.
3. Выбрать критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
4. Вычислить значения функции $y(x)$ в выбранных критических точках и на концах отрезка.
5. Среди полученных значений найти наибольшее и наименьшее.

Исходная функция: $y = x^4 - 8x^3 + 10x^2 + 1$.

1. Находим производную функции:

$y'(x) = (x^4 - 8x^3 + 10x^2 + 1)' = 4x^3 - 24x^2 + 20x$.

2. Находим критические точки:

$4x^3 - 24x^2 + 20x = 0$

$4x(x^2 - 6x + 5) = 0$

Отсюда получаем три критические точки:

$x_1 = 0$

$x^2 - 6x + 5 = 0 \implies (x-1)(x-5) = 0 \implies x_2 = 1, x_3 = 5$.

Критические точки функции: $0, 1, 5$.

Теперь проанализируем каждый отрезок.

---

а) [-1; 2]

Критические точки, принадлежащие отрезку $[-1; 2]$: $x=0$ и $x=1$.

Вычислим значения функции в этих точках и на концах отрезка ($x=-1$ и $x=2$):

• $y(-1) = (-1)^4 - 8(-1)^3 + 10(-1)^2 + 1 = 1 + 8 + 10 + 1 = 20$
• $y(0) = 0^4 - 8(0)^3 + 10(0)^2 + 1 = 1$
• $y(1) = 1^4 - 8(1)^3 + 10(1)^2 + 1 = 1 - 8 + 10 + 1 = 4$
• $y(2) = 2^4 - 8(2)^3 + 10(2)^2 + 1 = 16 - 64 + 40 + 1 = -7$

Сравниваем полученные значения: $\{20, 1, 4, -7\}$.

Наибольшее значение: $20$. Наименьшее значение: $-7$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -7$, наибольшее значение $y_{max} = 20$.

---

б) [1; 6]

Критические точки, принадлежащие отрезку $[1; 6]$: $x=1$ и $x=5$.

Вычислим значения функции в этих точках и на концах отрезка ($x=1$ и $x=6$):

• $y(1) = 1^4 - 8(1)^3 + 10(1)^2 + 1 = 1 - 8 + 10 + 1 = 4$
• $y(5) = 5^4 - 8(5)^3 + 10(5)^2 + 1 = 625 - 1000 + 250 + 1 = -124$
• $y(6) = 6^4 - 8(6)^3 + 10(6)^2 + 1 = 1296 - 1728 + 360 + 1 = -71$

Сравниваем полученные значения: $\{4, -124, -71\}$.

Наибольшее значение: $4$. Наименьшее значение: $-124$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -124$, наибольшее значение $y_{max} = 4$.

---

в) [-2; 3]

Критические точки, принадлежащие отрезку $[-2; 3]$: $x=0$ и $x=1$.

Вычислим значения функции в этих точках и на концах отрезка ($x=-2$ и $x=3$):

• $y(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^3 + 10(-2)^2 + 1 = 16 + 64 + 40 + 1 = 121$
• $y(0) = 0^4 - 8(0)^3 + 10(0)^2 + 1 = 1$
• $y(1) = 1^4 - 8(1)^3 + 10(1)^2 + 1 = 1 - 8 + 10 + 1 = 4$
• $y(3) = 3^4 - 8(3)^3 + 10(3)^2 + 1 = 81 - 216 + 90 + 1 = -44$

Сравниваем полученные значения: $\{121, 1, 4, -44\}$.

Наибольшее значение: $121$. Наименьшее значение: $-44$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -44$, наибольшее значение $y_{max} = 121$.

---

г) [-1; 7]

Критические точки, принадлежащие отрезку $[-1; 7]$: $x=0$, $x=1$ и $x=5$.

Вычислим значения функции в этих точках и на концах отрезка ($x=-1$ и $x=7$):

• $y(-1) = (-1)^4 - 8(-1)^3 + 10(-1)^2 + 1 = 1 + 8 + 10 + 1 = 20$
• $y(0) = 0^4 - 8(0)^3 + 10(0)^2 + 1 = 1$
• $y(1) = 1^4 - 8(1)^3 + 10(1)^2 + 1 = 1 - 8 + 10 + 1 = 4$
• $y(5) = 5^4 - 8(5)^3 + 10(5)^2 + 1 = 625 - 1000 + 250 + 1 = -124$
• $y(7) = 7^4 - 8(7)^3 + 10(7)^2 + 1 = 2401 - 2744 + 490 + 1 = 148$

Сравниваем полученные значения: $\{20, 1, 4, -124, 148\}$.

Наибольшее значение: $148$. Наименьшее значение: $-124$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -124$, наибольшее значение $y_{max} = 148$.