Номер 32.13, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.13, страница 125.

32.13 Найдите область значений функции:

a) $y = \operatorname{ctg} x + x, x \in \left[ \frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4} \right];$

б) $y = 2 \sin x - x, x \in [0; \pi];$

в) $y = 2 \cos x + x, x \in \left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right];$

г) $y = \operatorname{tg} x - x, x \in \left[ 0; \frac{\pi}{3} \right].$

а) Для нахождения области значений функции $y = \text{ctg } x + x$ на отрезке $x \in [\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$, мы воспользуемся производной. Функция непрерывна на данном отрезке.
1. Найдем производную функции: $y' = (\text{ctg } x + x)' = -\frac{1}{\sin^2 x} + 1$.
2. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$1 - \frac{1}{\sin^2 x} = 0 \implies \sin^2 x = 1 \implies \sin x = \pm 1$.
На отрезке $[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$ этому условию удовлетворяет только точка $x = \frac{\pi}{2}$.
3. Для любого $x$ из отрезка $[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$, значение $\sin x$ находится в пределах $[\frac{\sqrt{2}}{2}; 1]$. Следовательно, $\sin^2 x \in [\frac{1}{2}; 1]$. Тогда $\frac{1}{\sin^2 x} \ge 1$, и производная $y' = 1 - \frac{1}{\sin^2 x} \le 0$ на всем отрезке. Это означает, что функция является неубывающей (монотонно убывает).
4. Поскольку функция монотонно убывает, свое наибольшее значение она принимает на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.
- Наибольшее значение: $y(\frac{\pi}{4}) = \text{ctg}(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4} = 1 + \frac{\pi}{4}$.
- Наименьшее значение: $y(\frac{3\pi}{4}) = \text{ctg}(\frac{3\pi}{4}) + \frac{3\pi}{4} = -1 + \frac{3\pi}{4}$.
Таким образом, область значений функции — это отрезок от наименьшего значения до наибольшего.
Ответ: $[-1 + \frac{3\pi}{4}; 1 + \frac{\pi}{4}]$.

б) Для нахождения области значений функции $y = 2\sin x - x$ на отрезке $x \in [0; \pi]$, исследуем ее с помощью производной. Функция непрерывна на данном отрезке.
1. Найдем производную: $y' = (2\sin x - x)' = 2\cos x - 1$.
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $2\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2}$.
На отрезке $[0; \pi]$ решением является $x = \frac{\pi}{3}$.
3. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:
- $y(0) = 2\sin(0) - 0 = 0$.
- $y(\pi) = 2\sin(\pi) - \pi = 0 - \pi = -\pi$.
- $y(\frac{\pi}{3}) = 2\sin(\frac{\pi}{3}) - \frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$.
4. Сравним полученные значения. $y(0)=0$, $y(\pi) \approx -3.14$, $y(\frac{\pi}{3}) \approx 1.732 - 1.047 \approx 0.685$.
Наибольшее значение функции равно $\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$, а наименьшее равно $-\pi$.
Ответ: $[-\pi; \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}]$.

в) Для нахождения области значений функции $y = 2\cos x + x$ на отрезке $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, применим стандартный алгоритм. Функция непрерывна на данном отрезке.
1. Найдем производную: $y' = (2\cos x + x)' = -2\sin x + 1$.
2. Найдем критические точки из уравнения $y' = 0$: $-2\sin x + 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2}$.
На отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ решением является $x = \frac{\pi}{6}$.
3. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:
- $y(-\frac{\pi}{2}) = 2\cos(-\frac{\pi}{2}) - \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 0 - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}$.
- $y(\frac{\pi}{2}) = 2\cos(\frac{\pi}{2}) + \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.
- $y(\frac{\pi}{6}) = 2\cos(\frac{\pi}{6}) + \frac{\pi}{6} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} + \frac{\pi}{6}$.
4. Сравним значения: $y(-\frac{\pi}{2}) \approx -1.57$, $y(\frac{\pi}{2}) \approx 1.57$, $y(\frac{\pi}{6}) \approx 1.732 + 0.524 \approx 2.256$.
Наибольшее значение равно $\sqrt{3} + \frac{\pi}{6}$, а наименьшее равно $-\frac{\pi}{2}$.
Ответ: $[-\frac{\pi}{2}; \sqrt{3} + \frac{\pi}{6}]$.

г) Для нахождения области значений функции $y = \text{tg } x - x$ на отрезке $x \in [0; \frac{\pi}{3}]$, исследуем ее монотонность. Функция непрерывна на данном отрезке.
1. Найдем производную: $y' = (\text{tg } x - x)' = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$.
2. Используя тригонометрическое тождество $1 + \text{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$, преобразуем производную: $y' = (1 + \text{tg}^2 x) - 1 = \text{tg}^2 x$.
3. Так как $\text{tg}^2 x \ge 0$ при всех допустимых $x$, и на интервале $(0, \frac{\pi}{3}]$ значение $\text{tg}^2 x$ строго положительно, производная $y' \ge 0$. Это означает, что функция является неубывающей (монотонно возрастает) на всем отрезке $[0; \frac{\pi}{3}]$.
4. Для монотонно возрастающей функции наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.
- Наименьшее значение: $y(0) = \text{tg}(0) - 0 = 0$.
- Наибольшее значение: $y(\frac{\pi}{3}) = \text{tg}(\frac{\pi}{3}) - \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, область значений функции — это отрезок от 0 до $\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$.
Ответ: $[0; \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}]$.