Номер 32.16, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.16, страница 125.

32.16 a) $y = x^2 - 4x + 5 + |1 - x|$, $[0; 4];

б) $y = |x^3 - 1| - 3x$, $[-1; 3].

а)

Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^2 - 4x + 5 + |1 - x|$ на отрезке $[0; 4]$.

Сначала раскроем модуль. Выражение под модулем $1-x$ меняет знак в точке $x=1$. Эта точка принадлежит нашему отрезку $[0; 4]$, поэтому рассмотрим два случая.

1. При $x \in [0; 1]$ имеем $1 - x \ge 0$, следовательно $|1 - x| = 1 - x$.
Функция принимает вид: $y = x^2 - 4x + 5 + (1 - x) = x^2 - 5x + 6$.
Найдем производную: $y' = (x^2 - 5x + 6)' = 2x - 5$.
На отрезке $[0; 1]$ производная $y'$ отрицательна (например, $y'(0) = -5$, $y'(1) = -3$), значит, функция на этом отрезке убывает. Следовательно, наибольшее и наименьшее значения на этом отрезке достигаются на его концах.
$y(0) = 0^2 - 5(0) + 6 = 6$.
$y(1) = 1^2 - 5(1) + 6 = 1 - 5 + 6 = 2$.

2. При $x \in (1; 4]$ имеем $1 - x < 0$, следовательно $|1 - x| = -(1 - x) = x - 1$.
Функция принимает вид: $y = x^2 - 4x + 5 + (x - 1) = x^2 - 3x + 4$.
Найдем производную: $y' = (x^2 - 3x + 4)' = 2x - 3$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1.5$.
Точка $x = 1.5$ принадлежит рассматриваемому интервалу $(1; 4]$. Это точка локального минимума, так как при $x < 1.5$ производная отрицательна, а при $x > 1.5$ — положительна.
Вычислим значение функции в этой точке и на конце отрезка $x=4$.
$y(1.5) = (1.5)^2 - 3(1.5) + 4 = 2.25 - 4.5 + 4 = 1.75$.
$y(4) = 4^2 - 3(4) + 4 = 16 - 12 + 4 = 8$.

Теперь сравним все полученные значения функции в точках $0, 1, 1.5, 4$:
$y(0) = 6$
$y(1) = 2$
$y(1.5) = 1.75$
$y(4) = 8$
Наибольшее значение функции на отрезке $[0; 4]$ равно 8, а наименьшее — 1.75.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = 1.75$, наибольшее значение функции $y_{max} = 8$.

б)

Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = |x^3 - 1| - 3x$ на отрезке $[-1; 3]$.

Раскроем модуль. Выражение $x^3 - 1$ меняет знак в точке $x=1$. Эта точка принадлежит отрезку $[-1; 3]$, поэтому рассмотрим два случая.

1. При $x \in [-1; 1]$ имеем $x^3 - 1 \le 0$, следовательно $|x^3 - 1| = -(x^3 - 1) = 1 - x^3$.
Функция принимает вид: $y = (1 - x^3) - 3x = -x^3 - 3x + 1$.
Найдем производную: $y' = (-x^3 - 3x + 1)' = -3x^2 - 3 = -3(x^2 + 1)$.
Так как $x^2 + 1 > 0$ для всех $x$, то производная $y'$ всегда отрицательна. Это значит, что функция на отрезке $[-1; 1]$ монотонно убывает. Наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка.
$y(-1) = -(-1)^3 - 3(-1) + 1 = 1 + 3 + 1 = 5$.
$y(1) = -(1)^3 - 3(1) + 1 = -1 - 3 + 1 = -3$.

2. При $x \in (1; 3]$ имеем $x^3 - 1 > 0$, следовательно $|x^3 - 1| = x^3 - 1$.
Функция принимает вид: $y = (x^3 - 1) - 3x = x^3 - 3x - 1$.
Найдем производную: $y' = (x^3 - 3x - 1)' = 3x^2 - 3$.
Найдем критические точки: $3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
Интервалу $(1; 3]$ ни одна из этих точек не принадлежит. Однако, на этом интервале $y' = 3(x^2-1) > 0$, значит, функция монотонно возрастает. Наименьшее значение будет при $x \to 1^+$, а наибольшее при $x=3$.
Мы уже знаем, что $y(1)=-3$.
Вычислим значение на правом конце отрезка:
$y(3) = 3^3 - 3(3) - 1 = 27 - 9 - 1 = 17$.

Сравним значения функции на концах исходного отрезка $[-1; 3]$ и в точке "излома" $x=1$:
$y(-1) = 5$
$y(1) = -3$
$y(3) = 17$
Наибольшее значение функции на отрезке $[-1; 3]$ равно 17, а наименьшее — -3.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = -3$, наибольшее значение функции $y_{max} = 17$.