Номер 32.19, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.19, страница 126.

32.19 $y = x^3 - 3x^2 - 9x + \sqrt{16 - x^4} + |\sqrt{16 - x^4} - 5|.$

Для анализа данной функции $y = x^3 - 3x^2 - 9x + \sqrt{16-x^4} + |\sqrt{16-x^4} - 5|$ первым шагом определим ее область определения.

1. Нахождение области определения

Подкоренное выражение $\sqrt{16-x^4}$ должно быть неотрицательным, поэтому: $16 - x^4 \ge 0$ $x^4 \le 16$ Извлекая корень четвертой степени из обеих частей неравенства, получаем: $|x| \le \sqrt[4]{16}$ $|x| \le 2$ Это означает, что $x$ должен находиться в интервале $[-2, 2]$. Таким образом, область определения функции $D(y) = [-2; 2]$.

2. Упрощение функции

Рассмотрим выражение с модулем: $|\sqrt{16-x^4} - 5|$. Чтобы раскрыть модуль, необходимо определить знак выражения внутри него. На области определения $x \in [-2; 2]$, имеем $0 \le x^4 \le 16$. Следовательно, для выражения под корнем получаем: $0 \le 16 - x^4 \le 16$. Тогда для самого корня справедливо: $0 \le \sqrt{16 - x^4} \le \sqrt{16}$, то есть $0 \le \sqrt{16 - x^4} \le 4$. Теперь оценим знак разности $\sqrt{16 - x^4} - 5$. Так как максимальное значение $\sqrt{16 - x^4}$ равно 4, то: $\sqrt{16 - x^4} - 5 \le 4 - 5 = -1$. Выражение $\sqrt{16 - x^4} - 5$ всегда отрицательно на области определения функции. Поэтому, по определению модуля, $|\sqrt{16-x^4} - 5| = -(\sqrt{16-x^4} - 5) = 5 - \sqrt{16-x^4}$.

Подставим это упрощенное выражение в исходную функцию: $y = x^3 - 3x^2 - 9x + \sqrt{16-x^4} + (5 - \sqrt{16-x^4})$ $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$

3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

Задача свелась к нахождению наибольшего и наименьшего значений кубической функции $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ на отрезке $[-2; 2]$. Для этого найдем производную функции и ее критические точки. $f'(x) = (x^3 - 3x^2 - 9x + 5)' = 3x^2 - 6x - 9$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3x^2 - 6x - 9 = 0$ Разделим уравнение на 3: $x^2 - 2x - 3 = 0$ Корни этого квадратного уравнения можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Теперь нужно проверить, какие из этих точек принадлежат отрезку $[-2; 2]$. $x_1 = 3$ не принадлежит отрезку $[-2; 2]$. $x_2 = -1$ принадлежит отрезку $[-2; 2]$.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке достигаются либо в критических точках, принадлежащих этому отрезку, либо на его концах. Вычислим значения функции в точках $x = -2$, $x = -1$ и $x = 2$.

$f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 9(-2) + 5 = -8 - 12 + 18 + 5 = 3$.

$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 5 = -1 - 3 + 9 + 5 = 10$.

$f(2) = (2)^3 - 3(2)^2 - 9(2) + 5 = 8 - 12 - 18 + 5 = -17$.

Сравнивая полученные значения ($3$, $10$, $-17$), делаем вывод, что наибольшее значение функции равно $10$ (достигается при $x = -1$), а наименьшее значение равно $-17$ (достигается при $x = 2$).

Ответ: Наибольшее значение функции $y_{max} = 10$, наименьшее значение функции $y_{min} = -17$.