Номер 32.14, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.14, страница 125.

Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке:

32.14 а) $y = x^3 - 2x^2 + 1$, $[0,5; +\infty)$;

б) $y = x - 2\sqrt{x}$, $[0; +\infty)$;

в) $y = \frac{1}{5}x^5 - x^2$, $(-\infty; 1];$

г) $y = \frac{x^4}{x^4 + 1}$, $(-\infty; +\infty)$.

а) Рассмотрим функцию $y = x^3 - 2x^2 + 1$ на промежутке $[0,5; +\infty)$. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке, сначала найдем ее производную: $y' = (x^3 - 2x^2 + 1)' = 3x^2 - 4x$. Затем найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$: $3x^2 - 4x = 0 \implies x(3x - 4) = 0$. Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{4}{3}$. Из этих точек заданному промежутку $[0,5; +\infty)$ принадлежит только $x_2 = \frac{4}{3}$ (так как $0 < 0,5$). Вычислим значение функции в этой критической точке и на левой границе промежутка $x = 0,5$: $y(\frac{4}{3}) = (\frac{4}{3})^3 - 2(\frac{4}{3})^2 + 1 = \frac{64}{27} - 2 \cdot \frac{16}{9} + 1 = \frac{64 - 96 + 27}{27} = -\frac{5}{27}$. $y(0,5) = (0,5)^3 - 2(0,5)^2 + 1 = 0,125 - 2 \cdot 0,25 + 1 = 0,125 - 0,5 + 1 = 0,625$. Для определения наличия наибольшего значения исследуем поведение функции при $x \to +\infty$: $\lim_{x \to +\infty} (x^3 - 2x^2 + 1) = +\infty$. Так как функция неограниченно возрастает, наибольшего значения на данном промежутке не существует. Сравнивая вычисленные значения $y(\frac{4}{3}) = -\frac{5}{27}$ и $y(0,5) = 0,625$, находим, что наименьшее значение функции равно $-\frac{5}{27}$.
Ответ: наименьшее значение функции равно $-\frac{5}{27}$, наибольшего значения не существует.

б) Рассмотрим функцию $y = x - 2\sqrt{x}$ на промежутке $[0; +\infty)$. Область определения функции $x \ge 0$ совпадает с заданным промежутком. Найдем производную функции для $x>0$: $y' = (x - 2\sqrt{x})' = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}}$. Найдем критические точки из уравнения $y' = 0$: $1 - \frac{1}{\sqrt{x}} = 0 \implies \sqrt{x} = 1 \implies x = 1$. Критическая точка $x = 1$ принадлежит промежутку $[0; +\infty)$. Вычислим значения функции в этой точке и на границе промежутка в точке $x=0$: $y(1) = 1 - 2\sqrt{1} = 1 - 2 = -1$. $y(0) = 0 - 2\sqrt{0} = 0$. Исследуем поведение функции при $x \to +\infty$: $\lim_{x \to +\infty} (x - 2\sqrt{x}) = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x}(\sqrt{x} - 2) = +\infty$. Так как функция неограниченно возрастает, наибольшего значения не существует. Сравнивая значения $y(1)=-1$ и $y(0)=0$, заключаем, что наименьшее значение функции равно $-1$.
Ответ: наименьшее значение функции равно $-1$, наибольшего значения не существует.

в) Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{5}x^5 - x^2$ на промежутке $(-\infty; 1]$. Найдем производную функции: $y' = (\frac{1}{5}x^5 - x^2)' = x^4 - 2x$. Найдем критические точки из уравнения $y' = 0$: $x^4 - 2x = 0 \implies x(x^3 - 2) = 0$. Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = \sqrt[3]{2}$. Заданному промежутку $(-\infty; 1]$ принадлежит только точка $x_1 = 0$, так как $\sqrt[3]{2} \approx 1,26 > 1$. Вычислим значение функции в критической точке $x = 0$ и на правой границе промежутка $x = 1$: $y(0) = \frac{1}{5}(0)^5 - (0)^2 = 0$. $y(1) = \frac{1}{5}(1)^5 - (1)^2 = \frac{1}{5} - 1 = -\frac{4}{5}$. Исследуем поведение функции при $x \to -\infty$: $\lim_{x \to -\infty} (\frac{1}{5}x^5 - x^2) = \lim_{x \to -\infty} x^5(\frac{1}{5} - \frac{1}{x^3}) = -\infty$. Так как функция неограниченно убывает, наименьшего значения на данном промежутке не существует. Сравнивая значения $y(0)=0$ и $y(1)=-\frac{4}{5}$, находим, что наибольшее значение функции равно $0$.
Ответ: наибольшее значение функции равно $0$, наименьшего значения не существует.

г) Рассмотрим функцию $y = \frac{x^4}{x^4 + 1}$ на промежутке $(-\infty; +\infty)$. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного: $y' = \frac{(x^4)'(x^4+1) - x^4(x^4+1)'}{(x^4+1)^2} = \frac{4x^3(x^4+1) - x^4(4x^3)}{(x^4+1)^2} = \frac{4x^7 + 4x^3 - 4x^7}{(x^4+1)^2} = \frac{4x^3}{(x^4+1)^2}$. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$: $\frac{4x^3}{(x^4+1)^2} = 0 \implies 4x^3 = 0 \implies x = 0$. Вычислим значение функции в единственной критической точке $x=0$: $y(0) = \frac{0^4}{0^4 + 1} = 0$. Поскольку $x^4 \ge 0$ и $x^4 + 1 > 0$, значение функции всегда неотрицательно: $y(x) \ge 0$. Следовательно, $y(0)=0$ является наименьшим значением функции. Исследуем поведение функции на бесконечности: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^4}{x^4 + 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^4}{x^4(1 + \frac{1}{x^4})} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x^4}} = 1$. Функция стремится к $1$ при $x \to \pm\infty$, но никогда не достигает этого значения, так как для любого действительного $x$ числитель $x^4$ строго меньше знаменателя $x^4 + 1$. Таким образом, функция ограничена сверху числом 1, но своего наибольшего значения не достигает.
Ответ: наименьшее значение функции равно $0$, наибольшего значения не существует.