Номер 32.18, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.18, страница 126.

32.18 а) $y = x\sqrt{x+2}$;

б) $y = x\sqrt{1-2x}$.

а) $y = x\sqrt{x+2}$

1. Найдём область определения функции.

Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+2 \ge 0$.

Отсюда следует, что $x \ge -2$.

Таким образом, область определения функции $D(y) = [-2, +\infty)$.

2. Найдём производную функции.

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = (x\sqrt{x+2})' = (x)' \cdot \sqrt{x+2} + x \cdot (\sqrt{x+2})'$

$y' = 1 \cdot \sqrt{x+2} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+2}} \cdot (x+2)'$

$y' = \sqrt{x+2} + \frac{x}{2\sqrt{x+2}}$

Приведем слагаемые к общему знаменателю:

$y' = \frac{2(\sqrt{x+2})^2 + x}{2\sqrt{x+2}} = \frac{2(x+2)+x}{2\sqrt{x+2}} = \frac{2x+4+x}{2\sqrt{x+2}} = \frac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}$

3. Найдём критические точки.

Критические точки - это внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует.

Производная $y'$ равна нулю, если её числитель равен нулю:

$3x+4=0 \implies x = -4/3$.

Эта точка принадлежит области определения, так как $-4/3 > -2$.

Производная не существует, если знаменатель равен нулю: $2\sqrt{x+2} = 0$, что происходит при $x=-2$. Эта точка является граничной точкой области определения.

4. Определим промежутки возрастания и убывания.

Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения: $(-2, -4/3)$ и $(-4/3, +\infty)$.

Знаменатель $2\sqrt{x+2}$ всегда положителен внутри области определения, поэтому знак $y'$ совпадает со знаком числителя $3x+4$.

• При $x \in (-2, -4/3)$, $3x+4 < 0$, значит, $y' < 0$, и функция убывает.
• При $x \in (-4/3, +\infty)$, $3x+4 > 0$, значит, $y' > 0$, и функция возрастает.

5. Найдём точки экстремума.

В точке $x = -4/3$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума.

Значение функции в этой точке: $y_{min} = y(-4/3) = -\frac{4}{3}\sqrt{-\frac{4}{3}+2} = -\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2}{3}} = -\frac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = -\frac{4\sqrt{6}}{9}$.

Точка $x=-2$ является граничной точкой, и так как функция убывает на отрезке $[-2, -4/3]$, то в точке $x=-2$ достигается локальный максимум. $y_{max} = y(-2) = -2\sqrt{-2+2} = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-4/3, +\infty)$, убывает на промежутке $[-2, -4/3]$. Точка минимума $x_{min} = -4/3$, точка максимума (краевого) $x_{max} = -2$.

б) $y = x\sqrt{1-2x}$

1. Найдём область определения функции.

Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $1-2x \ge 0$.

Отсюда следует, что $1 \ge 2x$, или $x \le 1/2$.

Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty, 1/2]$.

2. Найдём производную функции.

Используем правило дифференцирования произведения:

$y' = (x\sqrt{1-2x})' = (x)' \cdot \sqrt{1-2x} + x \cdot (\sqrt{1-2x})'$

$y' = 1 \cdot \sqrt{1-2x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-2x}} \cdot (1-2x)'$

$y' = \sqrt{1-2x} + x \cdot \frac{-2}{2\sqrt{1-2x}} = \sqrt{1-2x} - \frac{x}{\sqrt{1-2x}}$

Приведем к общему знаменателю:

$y' = \frac{(\sqrt{1-2x})^2 - x}{\sqrt{1-2x}} = \frac{1-2x-x}{\sqrt{1-2x}} = \frac{1-3x}{\sqrt{1-2x}}$

3. Найдём критические точки.

Производная $y'$ равна нулю, если её числитель равен нулю:

$1-3x=0 \implies x = 1/3$.

Эта точка принадлежит области определения, так как $1/3 < 1/2$.

Производная не существует, если знаменатель равен нулю: $\sqrt{1-2x} = 0$, что происходит при $x=1/2$. Эта точка является граничной точкой области определения.

4. Определим промежутки возрастания и убывания.

Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty, 1/3)$ и $(1/3, 1/2)$.

Знаменатель $\sqrt{1-2x}$ всегда положителен внутри области определения, поэтому знак $y'$ совпадает со знаком числителя $1-3x$.

• При $x \in (-\infty, 1/3)$, $1-3x > 0$, значит, $y' > 0$, и функция возрастает.
• При $x \in (1/3, 1/2)$, $1-3x < 0$, значит, $y' < 0$, и функция убывает.

5. Найдём точки экстремума.

В точке $x = 1/3$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума.

Значение функции в этой точке: $y_{max} = y(1/3) = \frac{1}{3}\sqrt{1 - 2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{1}{3}\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9}$.

Точка $x=1/2$ является граничной точкой, и так как функция убывает на отрезке $[1/3, 1/2]$, то в точке $x=1/2$ достигается локальный минимум. $y_{min} = y(1/2) = \frac{1}{2}\sqrt{1 - 2 \cdot \frac{1}{2}} = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1/3]$, убывает на промежутке $[1/3, 1/2]$. Точка максимума $x_{max} = 1/3$, точка минимума (краевого) $x_{min} = 1/2$.