Номер 32.23, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.23, страница 126.

32.23 Представьте число 3 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма утроенного первого слагаемого и куба второго слагаемого была наименьшей.

Пусть число 3 представлено в виде суммы двух положительных слагаемых, $x$ и $y$.

$x + y = 3$

Согласно условию, оба слагаемых должны быть положительными, то есть $x > 0$ и $y > 0$.

Требуется, чтобы сумма утроенного первого слагаемого и куба второго слагаемого была наименьшей. Обозначим эту сумму через $S$.

$S = 3x + y^3$

Для нахождения наименьшего значения выразим $S$ как функцию одной переменной. Из уравнения $x + y = 3$ выразим $x$:

$x = 3 - y$

Теперь подставим это выражение в формулу для $S$:

$S(y) = 3(3 - y) + y^3 = 9 - 3y + y^3$

Итак, нам необходимо найти минимум функции $S(y) = y^3 - 3y + 9$.

Так как $x > 0$, то $3 - y > 0$, что означает $y < 3$. Учитывая также, что $y > 0$, мы ищем минимум функции на интервале $(0, 3)$.

Для нахождения точки минимума найдем производную функции $S(y)$ и приравняем ее к нулю.

$S'(y) = (y^3 - 3y + 9)' = 3y^2 - 3$

Найдем критические точки, решив уравнение $S'(y) = 0$:

$3y^2 - 3 = 0$
$3(y^2 - 1) = 0$
$y^2 = 1$

Отсюда получаем два значения: $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Из этих двух точек только $y = 1$ принадлежит интервалу $(0, 3)$.

Чтобы проверить, является ли эта точка точкой минимума, воспользуемся второй производной:

$S''(y) = (3y^2 - 3)' = 6y$

Вычислим значение второй производной в точке $y = 1$:

$S''(1) = 6 \cdot 1 = 6$

Поскольку $S''(1) > 0$, в точке $y = 1$ функция $S(y)$ достигает своего локального минимума. Так как это единственная критическая точка на рассматриваемом интервале, этот минимум является наименьшим значением функции на данном интервале.

Итак, второе слагаемое равно $y = 1$.

Теперь найдем первое слагаемое $x$:

$x = 3 - y = 3 - 1 = 2$

Таким образом, число 3 нужно представить в виде суммы $2 + 1$, где первое слагаемое — 2, а второе — 1.

Ответ: $3 = 2 + 1$.