Номер 32.26, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.26, страница 126.

32.26 Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200 м. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

Пусть стороны прямоугольного участка равны $a$ и $b$ метров.

Периметр участка равен длине забора, то есть 200 м. Формула периметра для прямоугольника: $P = 2(a + b)$.

Составим уравнение на основе известных данных:
$2(a + b) = 200$

Разделив обе части уравнения на 2, получим соотношение между сторонами:
$a + b = 100$

Из этого соотношения можно выразить одну сторону через другую. Например, выразим сторону $b$ через $a$:
$b = 100 - a$

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Нам необходимо найти такие размеры $a$ и $b$, при которых площадь $S$ будет наибольшей. Для этого подставим выражение для $b$ в формулу площади, чтобы получить функцию, зависящую только от одной переменной $a$:
$S(a) = a \cdot (100 - a)$
$S(a) = 100a - a^2$

Мы получили квадратичную функцию $S(a) = -a^2 + 100a$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $a^2$ отрицательный, равен -1). Наибольшее значение такой функции достигается в ее вершине.

Абсциссу вершины параболы вида $y = kx^2 + mx + n$ можно найти по формуле $x_0 = -\frac{m}{2k}$.

Применим эту формулу к нашей функции площади, где $k = -1$ и $m = 100$, чтобы найти значение стороны $a$, при котором площадь будет максимальной:
$a = -\frac{100}{2 \cdot (-1)} = -\frac{100}{-2} = 50$

Итак, одна из сторон прямоугольника равна 50 м. Теперь найдем длину второй стороны $b$:
$b = 100 - a = 100 - 50 = 50$

Следовательно, для того чтобы площадь огороженного участка была наибольшей, он должен иметь форму квадрата со стороной 50 метров.

Ответ: размеры прямоугольника должны быть 50 м на 50 м.