Номер 32.26, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 5. Производная. §32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции - номер 32.26, страница 126.

Условие.

32.26 Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200 м. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть стороны прямоугольного участка равны $a$ и $b$ метров.

Периметр участка равен длине забора, то есть 200 м. Формула периметра для прямоугольника: $P = 2(a + b)$.

Составим уравнение на основе известных данных:
$2(a + b) = 200$

Разделив обе части уравнения на 2, получим соотношение между сторонами:
$a + b = 100$

Из этого соотношения можно выразить одну сторону через другую. Например, выразим сторону $b$ через $a$:
$b = 100 - a$

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Нам необходимо найти такие размеры $a$ и $b$, при которых площадь $S$ будет наибольшей. Для этого подставим выражение для $b$ в формулу площади, чтобы получить функцию, зависящую только от одной переменной $a$:
$S(a) = a \cdot (100 - a)$
$S(a) = 100a - a^2$

Мы получили квадратичную функцию $S(a) = -a^2 + 100a$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $a^2$ отрицательный, равен -1). Наибольшее значение такой функции достигается в ее вершине.

Абсциссу вершины параболы вида $y = kx^2 + mx + n$ можно найти по формуле $x_0 = -\frac{m}{2k}$.

Применим эту формулу к нашей функции площади, где $k = -1$ и $m = 100$, чтобы найти значение стороны $a$, при котором площадь будет максимальной:
$a = -\frac{100}{2 \cdot (-1)} = -\frac{100}{-2} = 50$

Итак, одна из сторон прямоугольника равна 50 м. Теперь найдем длину второй стороны $b$:
$b = 100 - a = 100 - 50 = 50$

Следовательно, для того чтобы площадь огороженного участка была наибольшей, он должен иметь форму квадрата со стороной 50 метров.

Ответ: размеры прямоугольника должны быть 50 м на 50 м.